Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các Mối Liên Kết Của Chuyển Động Brown Với Khoảng Cách Quy Định Trong Các Không Gian Mô Hình Có Độ Cong Không Đổi
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét không gian mô hình $$\mathbb {M}^{n}_{K}$$ có độ cong không đổi K và chiều n \ge 1 (không gian Euclide cho $$K=0$$, mặt cầu cho $$K>0$$ và không gian siêu bội cho $$K<0$$), và chúng tôi chỉ ra rằng với một hàm $$\rho :[0,\infty )\rightarrow [0, \infty )$$ có $$\rho (0)=\mathrm {dist}(x,y)$$, tồn tại một mối liên kết đồng thích nghi (X(t), Y(t)) của các chuyển động Brown trong $$\mathbb {M}^{n}_{K}$$ bắt đầu tại (x, y) sao cho $$\rho (t)=\mathrm {dist}(X(t),Y(t))$$ cho mọi $$t\ge 0$$ nếu và chỉ nếu $$\rho $$ liên tục và thỏa mãn cho hầu như mỗi $$t\ge 0$$ bất phương trình vi phân $$\begin{aligned} -(n-1)\sqrt{K}\tan \left( \tfrac{\sqrt{K}\rho (t)}{2}\right) \le \rho '(t)\le -(n-1)\sqrt{K}\tan \left( \tfrac{\sqrt{K}\rho (t)}{2}\right) +\tfrac{2(n-1)\sqrt{K}}{\sin (\sqrt{K}\rho (t))}. \end{aligned}$$ Nói cách khác, chúng tôi đặc trưng hóa tất cả các mối liên kết đồng thích nghi của các chuyển động Brown trong không gian mô hình $$\mathbb {M}^{n}_{K}$$ mà khoảng cách giữa các quá trình là xác định. Ngoài ra, việc xây dựng các mối liên kết là rõ ràng cho mọi lựa chọn của $$\rho $$ thỏa mãn các giả thiết trên.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Arnaudon, M., Coulibaly, K.A., Thalmaier, A.: Horizontal diffusion in \(C^1\) path space. In: Séminaire de Probabilités XLIII, Lecture Notes in Mathematics, vol. 2006, pp. 73–94. Springer, Berlin (2011)
Arnaudon, M., Thalmaier, A., Wang, F.-Y.: Harnack inequality and heat kernel estimates on manifolds with curvature unbounded below. Bull. Sci. Math. 130(3), 223–233 (2006)
Bañuelos, R., Burdzy, K.: On the “hot spots” conjecture of J. Rauch. J. Funct. Anal. 164(1), 1–33 (1999)
Benjamini, Itai, Burdzy, Krzysztof, Chen, Zhen-Qing: Shy couplings. Probab. Theory Relat. Fields 137(3–4), 345–377 (2007)
Bramson, M., Burdzy, K., Kendall, W.: Shy couplings, \({{\rm CAT(0)}}\) spaces, and the lion and man. Ann. Probab. 41(2), 744–784 (2013)
Brillinger, D.R.: A particle migrating randomly on a sphere. J. Theor. Probab. 10(2), 429–443 (1997). Dedicated to Murray Rosenblatt
Burdzy, Krzysztof, Kendall, Wilfrid S.: Efficient Markovian couplings: examples and counterexamples. Ann. Appl. Probab. 10(2), 362–409 (2000)
Chen, M-F.: Optimal couplings and application to Riemannian geometry. In: Probability theory and mathematical statistics (Vilnius, 1993), TEV, Vilnius, pp. 121–142 (1994)
Cranston, M.: Gradient estimates on manifolds using coupling. J. Funct. Anal. 99(1), 110–124 (1991)
Davies, E.B.: Heat Kernels and Spectral Theory. Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 92. Cambridge University Press, Cambridge (1990)
Émery, M.: On certain almost Brownian filtrations. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Stat. 41(3), 285–305 (2005)
Hsu, E.P.: Stochastic Analysis on Manifolds, Graduate Studies in Mathematics, vol. 38. American Mathematical Society, Providence, RI (2002)
Hsu, E.P., Sturm, K.-T.: Maximal coupling of euclidean Brownian motions. Commun. Math. Stat. 1(1), 93–104 (2013)
Kendall, W.S.: Nonnegative Ricci curvature and the Brownian coupling property. Stochastics 19(1–2), 111–129 (1986)
Kendall, W.S.: Brownian couplings, convexity, and shy-ness. Electron. Commun. Probab. 14, 66–80 (2009)
Lindvall, T., Rogers, L.C.G.: Coupling of multidimensional diffusions by reflection. Ann. Probab. 14(3), 860–872 (1986)
Littlewood, John E.: Littlewood’s Miscellany. Cambridge University Press, Cambridge (1986). Edited and with a foreword by Béla Bollobás
Matsumoto, H.: Limiting behaviors of the Brownian motions on hyperbolic spaces. Colloq. Math. 119(2), 193–215 (2010)
Pascu, M.N.: Mirror coupling of reflecting Brownian motion and an application to Chavel’s conjecture. Electron. J. Probab. 16(18), 504–530 (2011)
Pascu, M.N., Popescu, I.: Shy and fixed-distance couplings of brownian motions on manifolds. Stoch. Process. Appl. 126(2), 628–650. arXiv:1210.7217 (2016)
Stroock, D.W.: On the growth of stochastic integrals. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 18, 340–344 (1971)
Stroock, D.W.: An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 74. American Mathematical Society, Providence, RI (2000)