Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phối hợp lý luận hình ảnh và đại số với các hàm bậc hai
Mathematics Education Research Journal - Trang 1-37 - 2022
Tóm tắt
Các biểu thức bậc hai cung cấp một bối cảnh cơ bản để hiểu nhiều khái niệm đại số quan trọng, chẳng hạn như biến và tham số, tỷ lệ thay đổi phi tuyến, và cách nhìn về hàm số. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu đã chỉ ra những khó khăn của học sinh trong việc kết nối các khái niệm như vậy. Nghiên cứu định tính sâu sắc này với hai cặp học sinh lớp 10 (15 hoặc 16 tuổi) đã điều tra tiềm năng của việc tổng quát hình học một cách có hệ thống—một bối cảnh không thường được sử dụng để dạy các biểu thức bậc hai—để kích thích khả năng phối hợp giữa lý luận hình ảnh và đại số của học sinh cũng như sự chú ý đến các khái niệm hàm bậc hai. Các lý thuyết về hình dung thể chất, tư duy đại số và sự chú ý của học sinh đã được sử dụng để phân tích phản hồi của các cặp học sinh với 19 nhiệm vụ tổng quát hình học bậc hai được xen kẽ trong chủ đề lớp học của họ về các phương trình bậc hai. Kết quả cho thấy học sinh trở nên thành thạo trong việc kết nối những khái quát của những loại khía cạnh cấu trúc khác nhau của hình (hình vuông, hình chữ nhật, đường thẳng, hằng số/bất biến) với biểu thức ký hiệu của chúng trong các phương trình bậc hai. Việc học sinh xây dựng các ví dụ số của các khía cạnh hình học được phát hiện hỗ trợ các cặp học sinh trong việc chuyển sang tổng quát hình thức ký hiệu. Các gợi ý nhiệm vụ nhằm tìm ra các phương trình đại số khác nhau (nhưng tương đương) cho cùng một mẫu đã chứng minh rằng các cặp học sinh bắt đầu phân biệt giữa các dạng phương trình bậc hai tổng quát, dạng phân tích và dạng chuẩn. Sự chú ý của một cặp học sinh đến sự khác biệt thứ nhất và thứ hai (giữa tổng số lượng hình trong một chuỗi) đã nêu bật cả khó khăn và tiềm năng trong việc kết nối các khái niệm tỷ lệ thay đổi bậc hai và các tham số một cách hình ảnh. Những tác động đối với việc đưa tổng quát hình học vào giảng dạy các biểu thức bậc hai và những kiến nghị cho nghiên cứu tiếp theo sẽ được chia sẻ.
Từ khóa
#biểu thức bậc hai #lý luận hình ảnh #tư duy đại số #tổng quát hình học #giáo dục toán họcTài liệu tham khảo
Afamasaga-Fuata’i, K. (2005). Rates of change and an iterative conception of quadratics. In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce & A. Roche (Eds.), Building connections: Research, theory, and practice (Proceedings of the 28th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia) (pp. 65–72). Melbourne, Australia: MERGA.
Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 52(3), 215–241.
Australian Curriculum Assessment and Reporting Authority. (2017). The Australian curriculum: Mathematics. Retrieved July 21, 2021, from http://www.australiancurriculum.edu.au/Mathematics/Curriculum/F-10
Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 843–908). Information Age Publishing.
Bloedy-Vinner, H. (2001). Beyond unknowns and variables—parameters and dummy variables in high school algebra. In R. Sutherland, T. Rojano, A. Bell, & R. Lins (Eds.), Perspectives on school algebra (pp. 177–189). Springer.
Chua, B. L., & Hoyles, C. (2014). Modalities of rules and generalising strategies of Year 8 students for a quadratic pattern. In C. Nicol, P. Liljedahl, S. Oesterle & D. Allan (Eds.), Proceedings of the joint meeting of PME 38 and PME-NA 36 (Vol. 2, pp. 305–312). Vancouver, Canada: PME.
Cobb, P., & Bowers, J. (1999). Cognitive and situated learning perspectives in theory and practice. Educational Researcher, 28(2), 4–15.
Corbin, J., & Strauss, A. L. (2008). Basics of qualitative research: Grounded theory procedures and techniques (3rd ed.). Sage.
Creswell, J. W. (2013). Qualitative inquiry and research design: Choosing among five approaches (3rd ed.). Sage.
Dörfler, W. (2008). En route from patterns to algebra: Comments and reflections. ZDM: The International Journal on Mathematics Education, 40(1), 143–160.
Ellis, A. B., & Grinstead, P. (2008). Hidden lessons: How a focus on slope-like properties of quadratic functions encouraged unexpected generalisations. The Journal of Mathematical Behavior, 27(4), 277–296. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2008.11.002
Goodwin, C. (1994). Professional vision. American Anthropologist, 96(3), 606–633.
Graf, E. A., Fife, J. H., Howell, H., & Marquez, E. (2018). The development of a quadratic functions learning progression and associated task shells (ETS RR-18–47). Retrieved from Princeton, NJ: Educational Testing Service.
Hershkowitz, R., Arcavi, A., & Bruckheimer, M. (2001). Reflections on the status and nature of visual reasoning - the case of the matches. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32(2), 255–265. https://doi.org/10.1080/00207390010010917
Hohensee, C. (2016). Student noticing in classroom settings: A process underlying influences on prior ways of reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 42, 69–91. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2016.03.002
Jacobs, V. R., Lamb, L. L. C., & Philipp, R. A. (2010). Professional noticing of children’s mathematical thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 41(2), 169–202. https://doi.org/10.2307/20720130
Kajander, A. (2018). Learning algebra with models and reasoning. In A. Kajander, J. Holm, & E. J. Chernoff (Eds.), Teaching and learning secondary school mathematics: Canadian perspectives in an international context (pp. 561–569). Springer International Publishing.
Kaput, J. J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. J. Kaput, D. W. Carraher, & M. L. Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 5–17). Taylor & Francis Group.
Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (Vol. 2, pp. 707–762). National Council of Teachers of Mathematics, Information Age Publishing.
Lannin, J. K. (2005). Generalisation and justification: The challenge of introducing algebraic reasoning through patterning activities. Mathematical Thinking and Learning, 7(3), 231–258. https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0703_3
Lobato, J. (2012). The actor-oriented transfer perspective and its contributions to educational research and practice. Educational Psychologist, 47(3), 232–247. https://doi.org/10.1080/00461520.2012.693353
Lobato, J., Hohensee, C., & Rhodehamel, B. (2013). Students’ mathematical noticing. Journal for Research in Mathematics Education, 44(5), 809–850.
Lobato, J., Hohensee, C., Rhodehamel, B., & Diamond, J. (2012). Using student reasoning to inform the development of conceptual learning goals: The case of quadratic functions. Mathematical Thinking and Learning, 14(2), 85–119. https://doi.org/10.1080/10986065.2012.656362
Markworth, K. A. (2010). Growing and growing: Promoting functional thinking with geometric growing patterns. (Unpublished doctoral dissertation), University of North Carolina at Chapel Hill. Available from ERIC (ED519354).
Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran, & L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 65–86). Kluwer Academic Publishers.
Mason, J. (2002). Researching your own practice: The discipline of noticing. Routledge-Falmer.
Mason, J. (2017). Overcoming the algebra barrier: Being particular about the general, and generally looking beyond the particular, in homage to Mary Boole. In S. Stewart (Ed.), And the rest is just algebra (pp. 97–117). Springer International Publishing.
McCallum, W. (2018). Excavating school mathematics. In N. H. Wasserman (Ed.), Connecting abstract algebra to secondary mathematics, for secondary mathematics teachers (pp. 87–101). Springer International Publishing.
Miles, M. B., & Huberman, A. M. (1994). Qualitative data analysis (2nd ed.). Sage.
Montenegro, P., Costa, C., & Lopes, B. (2018). Transformations in the visual representation of a figural pattern. Mathematical Thinking and Learning, 20(2), 91–107. https://doi.org/10.1080/10986065.2018.1441599
Mulligan, J. T. (2015). Looking within and beyond the geometry curriculum: Connecting spatial reasoning to mathematics learning. ZDM, 47(3), 511–517. https://doi.org/10.1007/s11858-015-0696-1
Orton, J., Orton, A., & Roper, T. (1999). Pictorial and practical contexts and the perception of pattern. In A. Orton (Ed.), Pattern in the teaching and learning of mathematics (pp. 121–136). Redwood Books Ltd.
Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs: A semiotic-cultural approach to students’ types of generalisation. Mathematical Thinking and Learning, 5(1), 37–70. https://doi.org/10.1207/S15327833MTL0501_02
Radford, L., Bardini, C., & Sabena, C. (2007). Perceiving the general: The Multisemiotic dimension of students’ algebraic activity. Journal for Research in Mathematics Education, 38(5), 507–530.
Radford, L. (2014). Towards an embodied, cultural, and material conception of mathematics cognition. ZDM Mathematics Education, 46(3), 349–361. https://doi.org/10.1007/s11858-014-0591-1
Rakes, C. R., Valentine, J. C., McGatha, M. B., & Ronau, R. N. (2010). Methods of instructional improvement in algebra: A systematic review and meta-analysis. Review of Educational Research, 80(3), 372–400. https://doi.org/10.3102/0034654310374880
Ramful, A., Lowrie, T., & Logan, T. (2017). Measurement of spatial ability: Construction and validation of the spatial reasoning instrument for middle school students. Journal of Psychoeducational Assessment, 35(7), 709–727. https://doi.org/10.1177/0734282916659207
Rivera, F. (2010). Visual templates in pattern generalisation activity. Educational Studies in Mathematics, 73(3), 297–328.
Schliemann, A. D., Carraher, D. W., & Teixidor-i-Bigas, M. (2021). Teacher development structured around reasoning about functions. International Journal of Science and Mathematics Education. https://doi.org/10.1007/s10763-021-10169-y
Sfard, A. (2001). There is more to discourse than meets the ears: Looking at thinking as communicating to learn more about mathematical learning. Educational Studies in Mathematics, 46(1), 13–57.
Silverman, D. (2001). Interpreting qualitative data (2nd ed.). Sage.
Smith, E. (2008). Representational thinking as a framework for introducing functions in the elementary curriculum. In J. L. Kaput, D. W. Carraher, & M. L. Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 133-160). New York: Taylor & Francis Group.
Steele, D. (2008). Seventh-grade students’ representations for pictorial growth and change problems. ZDM, 40(1), 97–110. https://doi.org/10.1007/s11858-007-0063-y
Suominen, A. L. (2018). Abstract algebra and secondary school mathematics connections as discussed by mathematicians and mathematics educators. In N. H. Wasserman (Ed.), Connecting abstract algebra to secondary mathematics, for secondary mathematics teachers (pp. 149–173). Springer International Publishing.
Sutherland, R. (2002). A comparative study of algebra curricula: Qualifications and Curriculum Authority.
Thompson, P. W., & Carlson, M. (2017). Variation, covariation, and functions: Foundational ways of thinking mathematically. In J. Cai (Ed.), Compendium for research in mathematics education (pp. 421-456). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2017). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (9th edition - Global edition mapped to Australian Curriculum). Pearson Australia.
Wilkie, K. J. (2019). Investigating secondary students’ generalization, graphing, and construction of figural patterns for making sense of quadratic functions. Journal of Mathematical Behavior, 54, 1–17. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2019.01.005
Wilkie, K. J. (2021). Seeing quadratics in a new light: Secondary mathematics pre-service teachers’ creation of figural growing patterns. Educational Studies in Mathematics, 106(1), 91–116. https://doi.org/10.1007/s10649-020-09997-6
Wilkie, K. J. (2022). Generalization of quadratic figural patterns: Shifts in student noticing. Journal of Mathematical Behavior, 65, 1–19. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2021.100917
Wilkie, K. J., & Clarke, D. M. (2016). Developing students’ functional thinking in algebra through different visualisations of a growing pattern’s structure. Mathematics Education Research Journal, 28(2), 223–243.
Yoon, H., & Thompson, P. W. (2020). Secondary teachers’ meanings for function notation in the United States and South Korea. The Journal of Mathematical Behavior, 60, 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2020.100804
Zazkis, R., Dubinsky, E., & Dautermann, J. (1996). Coordinating visual and analytic strategies: A study of students’ understanding of the group D 4. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 435–457.