Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự hội tụ của các xấp xỉ lưới thưa xấp xỉ tối ưu cho các hàm có giá trị trong không gian Hilbert: ứng dụng cho các PDE ngẫu nhiên elliptic
Tóm tắt
Trong công trình này, chúng tôi cung cấp một phân tích hội tụ cho phiên bản xấp xỉ tối ưu của phương pháp xấp xỉ thưa lưới ngẫu nhiên mà chúng tôi đã trình bày trong một công trình trước đó: “Về xấp xỉ đa thức tối ưu của PDE ngẫu nhiên bằng các phương pháp Galerkin và xấp xỉ” (Beck et al., Math Models Methods Appl Sci 22(09), 2012). Việc xây dựng một lưới thưa được chuyển thành một bài toán túi xách: một lợi nhuận được gán cho mỗi phần thừa phân cấp và chỉ những phần có lợi nhuận cao nhất mới được thêm vào lưới thưa. Tốc độ hội tụ của sai số xấp xỉ lưới thưa liên quan đến số điểm trong lưới sau đó được chỉ ra là phụ thuộc vào các tính chất tổng quát trọng số của chuỗi lợi nhuận. Đây là một lập luận rất tổng quát có thể áp dụng cho các lưới thưa được xây dựng với bất kỳ họ điểm đơn biến nào, cả lồng ghép và không lồng ghép. Là một ví dụ, chúng tôi áp dụng những lưới thưa xấp xỉ tối ưu này để giải quyết một PDE elliptic cụ thể với các hệ số khuếch tán ngẫu nhiên, đó là vấn đề “bao gồm”: chúng tôi chi tiết hóa các ước lượng hội tụ nhận được trong trường hợp này bằng cách sử dụng nội suy đa thức trên các abscissa lồng ghép (Clenshaw–Curtis) hoặc không lồng ghép (Gauss–Legendre), xác minh độ sắc nét của chúng bằng cách tính toán, và so sánh hiệu suất của các lưới xấp xỉ tối ưu thu được với một vài sơ đồ xây dựng lưới thưa thay thế được đề xuất gần đây trong tài liệu.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Babenko, K.I.: Approximation by trigonometric polynomials in a certain class of periodic functions of several variables. Soviet Math. Dokl. 1, 672–675 (1960)
Babuška, I., Tempone, R., Zouraris, G.E.: Galerkin finite element approximations of stochastic elliptic partial differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 42(2), 800–825 (2004)
Babuška, I., Nobile, F., Tempone, R.: A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations with random input data. SIAM Rev. 52(2), 317–355 (2010)
Bäck, J., Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: Stochastic spectral Galerkin and collocation methods for PDEs with random coefficients: a numerical comparison. In: Hesthaven, J.S., Ronquist, E.M. (eds.) Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol. 76, pp. 43–62. Springer, Berlin (2011) (selected papers from the ICOSAHOM ’09 conference, June 22–26, Trondheim, Norway)
Barthelmann, V., Novak, E., Ritter, K.: High dimensional polynomial interpolation on sparse grids. Adv. Comput. Math. 12(4), 273–288 (2000)
Beck, J., Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: On the optimal polynomial approximation of stochastic PDEs by Galerkin and collocation methods. Math. Models Methods Appl. Sci. 22(09) (2012)
Beck, J., Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: A quasi-optimal sparse grids procedure for groundwater flows. In: Azaiez, M., El Fekih, H., Hesthaven, J.S. (eds.) Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations, Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer, Berlin (2012) (selected papers from the ICOSAHOM ’12 conference)
Beck, J., Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: Convergence of quasi-optimal Stochastic Galerkin methods for a class of PDEs with random coefficients. Comput. Math. Appl. 67(4), 732–751 (2014)
Bieri, M., Andreev, R., Schwab, C.: Sparse tensor discretization of elliptic SPDEs. SIAM J. Sci. Comput. 31(6), 4281–4304 (2009/2010)
Bungartz, H.J., Griebel, M.: Sparse grids. Acta Numer. 13, 147–269 (2004)
Chkifa, A.: On the lebesgue constant of leja sequences for the complex unit disk and of their real projection. J. Approx. Theory 166, 176–200 (2013)
Chkifa, A., Cohen, A., Devore, R., Schwab, C.: Sparse adaptive Taylor approximation algorithms for parametric and stochastic elliptic PDEs. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 47(1), 253–280 (2013)
Chkifa, A., Cohen, A., Schwab, C.: High-dimensional adaptive sparse polynomial interpolation and applications to parametric PDEs. Foundations of Computational Mathematics, pp. 1–33 (2013)
Cohen, A., Devore, R., Schwab, C.: Analytic regularity and polynomial approximation of parametric and stochastic elliptic PDE’S. Anal. Appl. (Singap.) 9(1), 11–47 (2011)
Davey, B.A., Priestley, H.A.: Introduction to Lattices and Order, 2nd edn. Cambridge University Press, New York (2002)
DeVore, R.A., Lorentz, G.G.: Constructive Approximation. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Springer, Berlin (1993)
Dzjadik, V.K., Ivanov, V.V.: On asymptotics and estimates for the uniform norms of the Lagrange interpolation polynomials corresponding to the Chebyshev nodal points. Anal. Math. 9(2), 85–97 (1983)
Ehlich, H., Zeller, K.: Auswertung der Normen von Interpolationsoperatoren. Math. Ann. 164, 105–112 (1966)
Gerstner, T., Griebel, M.: Dimension-adaptive tensor-product quadrature. Computing 71(1), 65–87 (2003)
Ghanem, R.G., Spanos, P.D.: Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. Springer, New York (1991)
Griebel, M., Knapek, S.: Optimized general sparse grid approximation spaces for operator equations. Math. Comput. 78(268), 2223–2257 (2009)
Gui, W., Babuka, I.: The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension—part I. The error analysis of the p-version. Numer. Math. 49(6), 577–612 (1986)
Haji-Ali, A.-L., Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: Multi-index stochastic collocation for random PDEs.arXiv:1508.07467 (2015, e-print)
Haji-Ali, A.-L., Nobile, F., Tempone, R.: Multi-Index Monte Carlo: when sparsity meets sampling. Numer. Math., 1–40 (2015)
Harbrecht, H., Peters, M., Siebenmorgen, M.: On multilevel quadrature for elliptic stochastic partial differential equations. In: Sparse Grids and Applications, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol. 88, pp. 161–179. Springer, Berlin (2013)
Klimke, A.: Uncertainty modeling using fuzzy arithmetic and sparse grids. PhD thesis, Universität Stuttgart, Shaker Verlag, Aachen (2006)
Le Maître, O.P., Knio, O.M.: Spectral methods for uncertainty quantification. Scientific Computation. Springer, New York (2010) (with applications to computational fluid dynamics)
Lubich, C.: From Quantum to Classical Molecular Dynamics: Reduced Models and Numerical Analysis, Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society, Zurich (2008)
Martello, S., Toth, P.: Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. Wiley, New York (1990)
Nobile, F., Tamellini, L., Tempone, R.: Comparison of Clenshaw–Curtis and Leja quasi-optimal sparse grids for the approximation of random PDEs. In: Spectral and High Order Methods for Partial Differential Equations—ICOSAHOM ’14, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol. 106. Springer, Berlin (2015, to appear) (also available as MATHICSE report 41/2014)
Nobile, F., Tempone, R., Webster, C.G.: An anisotropic sparse grid stochastic collocation method for partial differential equations with random input data. SIAM J. Numer. Anal. 46(5), 2411–2442 (2008)
Nocedal, J., Wright, S.J.: Numerical Optimization. Springer, Berlin (1999)
Patterson, T.N.L.: The optimum addition of points to quadrature formulae. Math. Comput. 22, 847–856 (1968) [addendum, Math. Comput. 22(104), C1–C11 (1968)]
Schillings, C., Schwab, C.: Sparse, adaptive Smolyak quadratures for Bayesian inverse problems. Inverse Probl. 29(6) (2013)
Shen, Jie, Wang, Li-Lian: Sparse spectral approximations of high-dimensional problems based on hyperbolic cross. SIAM J. Numer. Anal. 48(3), 1087–1109 (2010)
Tamellini, L.: Polynomial approximation of PDEs with stochastic coefficients. PhD thesis, Politecnico di Milano (2012)
Tamellini, L., Nobile, F.: Sparse Grids Matlab kit v. 15-8. http://csqi.epfl.ch (2011–2015)
Teckentrup, A.L., Jantsch, P., Webster, C.G., Gunzburger, M.: A multilevel stochastic collocation method for partial differential equations with random input data. arXiv:1404.2647 (2014, e-print)
Trefethen, L.N.: Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis? SIAM Rev. 50(1), 67–87 (2008)
Trefethen, L.N.: Approximation Theory and Approximation Practice. Society for Industrial and Applied Mathematics (2013)
van Wyk, H.W.: Multilevel sparse grid methods for elliptic partial differential equations with random coefficients. arXiv:1404.0963 (2014, e-print)
Wasilkowski, G.W., Wozniakowski, H.: Explicit cost bounds of algorithms for multivariate tensor product problems. J. Complex. 11(1), 1–56 (1995)