Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các Hàm Busemann và Các Hàm Rào
Tóm tắt
Trên một đa tạp Riemann mịn, không thu gọn, hoàn chỉnh, không có biên và liên thông, tồn tại hai loại hàm: các hàm Busemann tương ứng với các tia và các hàm rào tương ứng với các đường thẳng (nếu có ít nhất một đường thẳng tồn tại). Trong bài báo này, chúng tôi tập hợp một số tính chất đã biết về các hàm Busemann và giới thiệu một số tính chất cơ bản mới về các hàm rào. Dựa trên những tính chất của các hàm rào, chúng tôi có thể định nghĩa một số quan hệ trên tập hợp các đường thẳng và do đó phân loại chúng. Với quan hệ tương đương mà chúng tôi đã giới thiệu, chúng tôi trình bày một sự tổng quát của giả thuyết cứng.
Từ khóa
#Hàm Busemann; Hàm rào; Đa tạp Riemann; Tính chất hàm; Phân loại đường thẳngTài liệu tham khảo
Akian, M., Gaubert, S., Walsh, C.: The max-plus Martin boundary. Doc. Math. 14, 195–240 (2009)
Ballmann, W.: Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature. DMV Seminar, vol. 25. Birkhäuser, Basel (1995)
Bangert, V.: Minimal geodesics. Ergod. Theory Dyn. Syst. 10, 263–286 (1989)
Bangert, V., Emmerich, P.: On the flatness of Riemannian cylinders without conjugate points. Commun. Anal. Geom. 19(4), 773–805 (2011)
Bangert, V., Emmerich, P.: Area growth and rigidity of surface without conjugate points. J. Differ. Geom. 94(3), 367–385 (2013)
Bangert, V., Gutkin, E.: Insecurity for compact surfaces of positive genus. Geom. Dedic. 146, 165–191 (2010)
Belegradek, I., Choi, E., Innami, N.: Rays and souls in von Mangoldt planes. Pac. J. Math. 259(2), 279–306 (2012)
Burns, K., Knieper, G.: Rigidity of surfaces with no conjugate points. J. Differ. Geom. 34, 623–650 (1991)
Busemann, H.: The Geometry of Geodesics. Dover Publications, New York (1995)
Cannarsa, P., Sinestrari, C.: Semiconcave Functions, Hamilton–Jacobi Equations, and Optimal Control. Birkhäuser, Basel (2004)
Contreras, G.: Action potential and weak KAM solutions. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 13(4), 427–458 (2001)
Croke, C.B.: A synthetic characterization of the hemisphere. Proc. Am. Math. Soc. 136(3), 1083–1086 (2008)
Cui, X.: Locally Lipschitz graph property for lines. Proc. Am. Math. Soc. 143(10), 4423–4431 (2015)
Cui, X.: Viscosity solutions, ends and ideal boundary. Ill. J. Math. 60(2), 459–480 (2016)
Eschenburg, J.: Horospheres and the stable part of the geodesic flow. Math. Z. 153, 237–251 (1977)
Fathi, A.: Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics. Preprint
Fathi, A., Maderna, E.: Weak KAM theorem on non-compact manifolds. Nonlinear Differ. Equ. Appl. 14, 1–27 (2007)
Gromov, M.: Hyperbolic manifolds, groups and actions. Ann. Math. Stud. 97, 183–215 (1981)
Heintze, E., Im Hof, H.-C.: Geometry of horospheres. J. Differ. Geom. 12(4), 481–491 (1977)
Innami, N.: Differentiability of Busemann functions and total excess. Math. Z. 180, 235–247 (1982)
Ishii, H., Mitake, H.: Representation formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations with convex Hamiltonians. Indiana Univ. Math. J. 56(5), 2159–2184 (2007)
Lions, P.L.: Generalized Solutions of Hamilton–Jacobi Equations. Pitman, London (1982)
Mantegazza, C., Mennucci, A.C.: Hamilton-Jacobi equations and distance functions on Riemannian manifolds. Appl. Math. Optim. 47, 1–25 (2003)
Marenich, V.B.: Horofunctions, Busemann functions, and ideal boundaries of open manifolds of nonnegative curvature. Sib. Math. J. 34(5), 883–897 (1993)
Mather, J.: Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems. Math. Z. 207(2), 169–207 (1991)
Mather, J.: Variational constructions of connecting orbits. Ann. Inst. Fourier 43(5), 1349–1386 (1993)
Petersen, P.: Riemannian Geometry. Springer, Berlin (2006)
Sakai, T.: Riemannian Geometry. Am. Math. Soc., Providence (1996)
Shiohama, K.: Topology of complete noncompact manifolds. In: Shiohama, K. (ed.) Geometry of Geodesics and Related Topics. Adv. Studies in Pure Math, vol. 3, pp. 423–450 (1984)
Vallani, C.: Optimal Transport, Old and New. Springer, Berlin (2008)
Wu, H.: An elementary method in the study of nonnegative curvature. Acta Math. 142(1), 57–78 (1979)
Yau, S.T.: Non-existence of continuous convex functions on certain Riemannian manifolds. Math. Ann. 207(4), 269–270 (1974)