Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các bộ ước lượng lỗi chức năng gần đúng với độ chính xác tiệm cận dựa trên phương pháp phục hồi gradient siêu hội tụ
Tóm tắt
Việc sử dụng các bài toán đối ngẫu/đối ngẫu để xấp xỉ chức năng của các nghiệm của các phương trình vi phân riêng phần (PDEs) với độ chính xác cao hoặc chỉ đơn giản là để điều khiển một kế hoạch tinh chỉnh thích ứng theo mục tiêu đã trở thành một phương pháp được chấp nhận rộng rãi, và nó tiếp tục là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực. Cách tiếp cận truyền thống liên quan đến việc cân trọng số dư đối ngẫu (Dual Residual Weighting - DRW). Trong công trình này, chúng tôi trình bày hai bộ ước lượng lỗi chức năng mới và đưa ra các điều kiện mà theo đó chúng tôi có thể kỳ vọng chúng tiệm cận chính xác. Bộ ước lượng đầu tiên là loại DRW và được xây dựng cho các lưới mà hầu hết các tam giác thỏa mãn thuộc tính hình bình hành gần đúng. Bộ ước lượng chức năng thứ hai liên quan đến việc cân trọng số ước lượng lỗi đối ngẫu (Dual Error Estimate Weighting - DEW) sử dụng bất kỳ kỹ thuật phục hồi gradient siêu hội tụ nào cho các nghiệm gốc và đối ngẫu. Một số thí nghiệm đã được thực hiện để chứng minh độ chính xác tiệm cận của bộ ước lượng DEW sử dụng một phương pháp phục hồi gradient do Bank và Xu đề xuất, và hiệu quả của việc tinh chỉnh dựa trên các chỉ báo lỗi địa phương tương ứng.
Từ khóa
#bài toán đối ngẫu #ước lượng lỗi #phương trình vi phân riêng phần #phục hồi gradient #tinh chỉnh thích ứngTài liệu tham khảo
Ainsworth, M., Oden, J.: A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis. Wiley, New York, 2000
Babuška, I., Ihlenburg, F., Strouboulis, T., Gangaraj, S.K.: A posteriori error estimation for finite element solutions of Helmholtz' equation. II. Estimation of the pollution error. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 40(21), 3883–3900 (1997)
Babuška, I., Miller, A.: The post-processing approach in the finite element method. Part 1. Calculation of displacements, stresses and other higher derivatives of the displacements. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 20, 1085–1109 (1984)
Babuška, I., Miller, A.: The post-processing approach in the finite element method. Part 2. The calculation of stress intensity factors. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 20, 1111–1129 (1984)
Babuška, I., Miller, A.: The post-processing approach in the finite element method. Part 3. A posteriori error estimates and adaptive mesh selection. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 20, 2311–2324 (1984)
Bank, R.E. Pltmg: A software package for solving elliptic partial differential equations, users' guide 9.0. Technical report, University of California, San Diego, 2004
Bank, R.E., Xu, J.: Asymptotically exact a posteriori error estimators. I. Grids with superconvergence. SIAM J. Numer. Anal. 41(6), 2294–2312 (2003) (electronic)
Bank, R.E., Xu, J.: Asymptotically exact a posteriori error estimators. II. General unstructured grids. SIAM J. Numer. Anal. 41(6), 2313–2332 (2003) (electronic)
Becker, R., Rannacher, R.: A feed-back approach to error control in finite element methods: basic analysis and examples. East-West J. Numer. Math. 4(4), 237–264 (1996)
Becker, R., Rannacher, R.: An optimal control approach to a posteriori error estimation in finite element methods. Acta Numer. 10, 1–102 (2001)
Brenner, S.C., Scott, L.R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, volume 15 of Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1994
Brezzi, F., Hughes, T.J.R., Marini, L.D., Russo, A., Süli, E.: A priori error analysis of residual-free bubbles for advection-diffusion problems. SIAM J. Numer. Anal. 36(6), 1933–1948 (1999) (electronic)
Du, L., Yan, N.: Gradient recovery type a posteriori error estimate for finite element approximation on non-uniform meshes. Adv. Comput. Math. 14(2), 175–193 (2001)
Durán, R., Muschietti, M.A., Rodríguez, R.: On the asymptotic exactness of error estimators for linear triangular finite elements. Numer. Math. 59, 107–127 (1991)
Estep, D.J., Holst, M.J., Larson, M.: Generalized green's functions and the effective domain of influence. SIAM J. Sci. Comput. 26(4), 1314–1339 (2005)
Giles, M., Süli, E.: Adjoint methods for pdes: a posteriori error analysis and postprocessing by duality. In: Acta Numerica, vol. 11, Cambridge University Press, 2002, pp. 145–236
Heuveline, V., Rannacher, R.: Duality-based adaptivity in the hp-finite element method. J. Numer. Math. 11(2), 95–113 (2003)
Li, B., Zhang, Z.: Analysis of a class of superconvergence patch recovery techniques for linear and bilinear finite elements. Numer. Meth. Partial Differential Equations 15(2), 151–167 (1999)
Louis, A.: Acceleration of convergence for finite element solutions of the poisson equation. Numer. Math. 33, 43–53 (1979)
Ovall, J.S.: Duality-Based Adaptive Refinement for Elliptic PDEs. PhD Thesis, Department of Mathematics. University of California at San Diego, 2004
Pierce, N.A., Giles, M.B.: Adjoint recovery of superconvergent functionals from PDE approximations. SIAM Rev. 42(2), 247–264 (2000) (electronic)
Prudhomme, S., Oden, J.T.: On goal-oriented error estimation for elliptic problems: application to control of pointwise errors. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1–4, 313–331 (1999)
Russo, A.: A posteriori error estimators via bubble functions. Math. Models Methods Appl. Sci. 6(1), 33–41 (1996)
Schatz, A.H., Wahlbin, L.B.: Asymptotically exact a posteriori estimators for the pointwise gradient error on each element in irregular meshes. II. The piecewise linear case. Math. Comp. 73(246), 517–523 (2004) (electronic)
Wahlbin, L.B.: Local behavior in finite element methods. In: Handbook of numerical analysis, Vol. II, Handb. Numer. Anal. II, North-Holland, Amsterdam, 1991, pp. 353–522
Xu, J., Zhang, Z.: Analysis of recovery type a posteriori error estimators for mildly structured grids. Math. Comp. 73(247), 1139–1152 (2004) (electronic)
Yan, N., Zhou, A.: Gradient recovery type a posteriori error estimates for finite element approximations on irregular meshes. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190(32–33), 4289–4299 (2001)
Zhu, J.Z., Zienkiewicz, O.C.: Superconvergence recovery technique and a posteriori error estimators. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 30(7), 1321–1339 (1990)