Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Hành vi tiệm cận của phương trình parabol bậc bốn có liên quan đến Hessian
Tóm tắt
Bài báo này xem xét một phương trình đạo hàm riêng parabol bậc bốn phát sinh trong lý thuyết tăng trưởng tinh thể dựa trên sự xếp lớp. Đối với bài toán tĩnh, chúng tôi tìm ra một nghiệm trạng thái nền trên mặt phẳng Nehari tương ứng bằng phương pháp nhân Lagrange. Về bài toán tiến hóa, chúng tôi nghiên cứu động lực học cho cả nghiệm toàn cục và nghiệm bùng nổ. Đặc biệt, đối với nghiệm toàn cục, chúng tôi chứng minh rằng hàm năng lượng giảm theo hàm số mũ và chúng tôi thu được tỷ lệ giảm cụ thể. Đối với nghiệm bùng nổ, sự tăng trưởng theo hàm số mũ của nghiệm được chứng minh, và chúng tôi cũng thu được tỷ lệ tăng trưởng. Hành vi của hàm năng lượng khi $$t\rightarrow T$$ cũng được thảo luận, trong đó T là thời gian bùng nổ. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh rằng tồn tại nghiệm bùng nổ với năng lượng ban đầu tùy ý cao. Cuối cùng, đối với trường hợp năng lượng ban đầu thấp, chúng tôi đưa ra một số điều kiện tương đương cho các nghiệm bùng nổ trong thời gian hữu hạn và tồn tại toàn cục, tương ứng. Kết quả của chúng tôi mở rộng các kết quả đã đạt được bởi Escudero và cộng sự (Eur J Appl Math 24(3):437–453, 2013; J Differ Equ 254(6):2515–2531, 2013; Math Method Appl Sci 37(6):793–807, 2014; J Math Pures Appl 103(4):924–957, 2015).
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Barabasi, A., Stanley, H.E., Sander, L.M.: Fractal concepts in surface growth. Phys. Today 48(10), 68–69 (1995)
Barile, S., Figueiredo, G.M.: Existence of least energy positive, negative and nodal solutions for a class of P&Q-problems with potentials vanishing at infinity. J. Math. Anal. Appl. 427(2), 1205–1233 (2015)
Escudero, C.: Geometric principles of surface growth. Phys. Rev. Lett. 101(19), 196102 (2008)
Escudero, C., Gazzola, F., Peral, I.: Global existence versus blow-up results for a fourth order parabolic PDE involving the Hessian. J. Math. Pures Appl. 103(4), 924–957 (2015)
Escudero, C., Hakl, R., Peral, I., Torres, P.J.: On radial stationary solutions to a model of nonequilibrium growth. Eur. J. Appl. Math. 24(3), 437–453 (2013)
Escudero, C., Hakl, R., Peral, I., Torres, P.J.: Existence and nonexistence results for a singular boundary value problem arising in the theory of epitaxial growth. Math. Methods Appl. Sci. 37(6), 793–807 (2014)
Escudero, C., Peral, I.: Some fourth order nonlinear elliptic problems related to epitaxial growth. J. Differ. Equ. 254(6), 2515–2531 (2013)
Evans, L.: Partial differential equations, second edition. Wadsworth and Brooks/cole Mathematics, 19(1), 211–223 (2010)
Gazzola, F., Grunau, H.C., Sweers, G.: Polyharmonic Boundary Value Problems. Springer, Berlin (2010)
He, X.M., Zou, W.M.: Existence and concentration behavior of positive solutions for a kirchhoff equation in \({\mathbb{R}}^3\). J. Differ. Equ. 252(2), 1813–1834 (2012)
Kardar, M., Parisi, G., Zhang, Y.C.: Dynamic scaling of growing interfaces. Phys. Rev. Lett. 56(9), 889 (1986)
Liu, J.Q., Wang, Y.Q., Wang, Z.Q.: Solutions for quasilinear Schrödinger equations via the Nehari method. Commun. Part. Differ. Equ. 29(5–6), 879–901 (2004)
Liu, Y.C.: On potential wells and vacuum isolating of solutions for semilinear wave equations. J. Differ. Equ. 192(1), 155–169 (2003)
Payne, L.E., Sattinger, D.H.: Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations. Israel J. Math. 22(3–4), 273–303 (1975)
Sattinger, D.H.: On global solution of nonlinear hyperbolic equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 30(2), 148–172 (1968)
Shuai, W.: Sign-changing solutions for a class of Kirchhoff-type problem in bounded domains. J. Differ. Equ. 259(4), 1256–1274 (2015)
Tang, C.L., Zhong, X.J.: The existence and nonexistence results of ground state nodal solutions for a Kirchhoff type problem. Commun. Pure Appl. Anal. 16(2), 611–627 (2017)
Tang, X.H., Cheng, B.: Ground state sign-changing solutions for Kirchhoff type problems in bounded domains. J. Differ. Equ. 261(4), 2384–2402 (2016)
Xu, G.Y., Zhou, J.: Global existence and blow-up for a fourth order parabolic equation involving the Hessian. Nonlinear Differ. Equ. Appl. Nodea 24(4), 41 (2017)
Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I: Fixed-Point Theorems. Springer, New York (1986)
Zhou, J.: \(L^2\)-norm blow-up of solutions to a fourth order parabolic PDE involving the Hessian. J. Differ. Equ. 265, 4632–4641 (2018)
Zhou, J.: Ground state solution for a fourth-order elliptic equation with logarithmic nonlinearity modeling epitaxial growth. Submitted