Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
CÁC CHIẾN LƯỢC BẢO TỒN NĂNG LƯỢNG CÓ BẬC CAO TÙY Ý CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ZAKHAROV-RUBENCHIK
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một lớp các phương pháp bảo tồn năng lượng bậc cao mới để giải quyết các phương trình Zakharov-Rubenchik. Ý tưởng chính của phương pháp là trước tiên giới thiệu một biến phụ bậc hai để biến đổi năng lượng Hamilton thành năng lượng bậc hai sửa đổi và hệ thống ban đầu sau đó được xác định lại thành một hệ thống tương đương đáp ứng khối lượng, năng lượng sửa đổi cũng như hai bất biến tuyến tính. Phương pháp Runge-Kutta tơ tán trong thời gian, cùng với phương pháp giả phổ Fourier trong không gian được sử dụng để tính toán nghiệm của hệ thống đã được xác định lại. Lợi ích chính của các phương pháp đề xuất là nó có thể đạt được độ chính xác bậc cao tùy ý trong thời gian và bảo tồn ba bất biến: khối lượng, năng lượng Hamilton và hai bất biến tuyến tính. Ngoài ra, một phương pháp lặp cố định hiệu quả được đề xuất để giải quyết các phương trình phi tuyến phát sinh từ các phương pháp đề xuất. Nhiều thí nghiệm được thực hiện để xác thực các kết quả lý thuyết.
Từ khóa
#phương trình Zakharov-Rubenchik #phương pháp bảo tồn năng lượng #phương pháp Runge-Kutta #phương pháp giả phổ Fourier #độ chính xác bậc caoTài liệu tham khảo
Barletti, L., Brugnano, L., Caccia, G.F., Iavernaro, F.: Energy-conserving methods for the nonlinear Schrödinger equation. Appl. Math. Comput. 318, 3–18 (2018)
Brugnano, L., Iavernaro, F.: Line Integral Methods for Conservative Problems. Chapman et Hall/CRC, Boca Raton (2016)
Brugnano, L., Iavernaro, F., Trigiante, D.: Hamiltonian boundary value methods (energy preserving discrete line integral methods). J. Numer. Anal. Ind. Appl. Math. 5, 17–37 (2010)
Calvo, M., Iserles, A., Zanna, A.: Numerical solution of isospectral flows. Math. Comp. 66, 1461–1486 (1997)
Chen, J., Qin, M.: Multi-symplectic Fourier pseudospectral method for the nonlinear Schrödinger equation. Electr. Trans. Numer. Anal. 12, 193–204 (2001)
Chen, Y., Gong, Y., Hong, Q., Wang, C.: A novel class of energy-preserving Runge-Kutta methods for the Korteweg-de Vries equation. Numer. Math. Theor. Meth. Appl. 15, 768–792 (2022)
Cohen, D., Hairer, E.: Linear energy-preserving integrators for Poisson systems. BIT 51, 91–101 (2011)
Cooper, G.J.: Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems. IMA J. Numer. Anal. 7, 1–13 (1987)
Cordero, J.: Supersonic limit for the Zakharov-Rubenchik system. J. Differ. Equ. 261, 5260–5288 (2016)
Cui, J., Wang, Y., Jiang, C.: Arbitrarily high-order structure-preserving schemes for the Gross-Pitaevskii equation with angular momentum rotation. Comput. Phys. Commun. 261, 107767 (2021)
Gong, Y., Cai, J., Wang, Y.: Multi-symplectic Fourier pseudospectral method for the Kawahara equation. Commun. Comput. Phys. 16, 35–55 (2014)
Gong, Y., Hong, Q., Wang, C., Wang, Y.: Arbitrarily high-order energy-preserving schemes for the Camassa-Holm equation based on the quadratic auxiliary variable approach. Adv. Appl. Math. Mech. (2022). https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2022-0188
Gong, Y., Zhao, J., Wang, Q.: Arbitrarily high-order linear energy stable schemes for gradient flow models. J. Comput. Phys. 419, 109610 (2020)
Hairer, E.: Energy-preserving variant of collocation methods. J. Numer. Anal. Ind. Appl. Math. 5, 73–84 (2010)
Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, 2nd edn. Springer-Verlag, Berlin (2006)
Ji, B., Zhang, L., Zhou, X.: Conservative compact difference scheme for the Zakharov-Rubenchik equations. Int. J. Comput. Math. 96, 537–556 (2019)
Jiang, C., Cui, J., Qian, X., Song, S.: High-order linearly implicit structure-preserving exponential integrators for the nonlinear Schrödinger equation. J. Sci. Comput. 90, 66 (2022)
Jiang, C., Qian, C., Song, S., Zheng. C.: Arbitrary high-order structure-preserving schemes for the generalized Rosenau-type equation (2022). arXiv:2205.10241
Jiang, C., Wang, Y., Gong, Y.: Arbitrarily high-order energy-preserving schemes for the Camassa-Holm equation. Appl. Numer. Math. 151, 85–97 (2020)
Li, H., Wang, Y., Qin, M.: A sixth order averaged vector field method. J. Comput. Math. 34, 479–498 (2016)
Li, Y., Wu, X.: General local energy-preserving integrators for solving multi-symplectic Hamiltonian PDEs. J. Comput. Phys. 301, 141–166 (2015)
Li, Y., Wu, X.: Functionally fitted energy-preserving methods for solving oscillatory nonlinear Hamiltonian systems. SIAM J. Numer. Anal. 54, 2036–2059 (2016)
Linares, F., Matheus, C.: Well-posedness for the 1D Zakharov-Rubenchik system. Adv. Differ. Eq. 14, 261–288 (2009)
Mei, L., Huang, L., Wu, X.: Energy-preserving exponential integrators of arbitrarily high order for conservative or dissipative systems with highly oscillatory solutions. J. Comput. Phys. 442, 110429 (2021)
Miyatake, Y., Butcher, J.C.: A characterization of energy-preserving methods and the construction of parallel integrators for Hamiltonian systems. SIAM J. Numer. Anal. 54, 1993–2013 (2016)
Oliveira, F.: Stability of the solitons for the one-dimensional Zakharov-Rubenchik equation. Phys. D. 175, 220–240 (2003)
Oliveira, F.: Adiabatic limit of the Zakharov-Rubenchik equation. Rep. Math. Phys. 61, 13–27 (2008)
Oliveira, F.: Stability of solutions of the Zakharov–Rubenchik equation. In: Waves And Stability In Continuous Media (2006). https://doi.org/10.1142/9789812773616_0054
Oruç, Ö.: A radial basis function finite difference (RBF-FD) method for numerical simulation of interaction of high and low frequency waves: Zakharov-Rubenchik equations. Appl. Math. Comput. 394, 125787 (2021)
Ponce, G., Saut, J.C.: Well-posedness for the Benney-Roskes/Zakharov-Rubenchik system. Discret. Contin. Dyn. Syst. 13, 818–852 (2005)
Quispel, G.R.W., McLaren, D.I.: A new class of energy-preserving numerical integration methods. J. Phys. A Math. Theor. 41, 045206 (2008)
Sanz-Serna, J.M.: Runge-Kutta schemes for Hamiltonian systems. BIT 28, 877–883 (1988)
Sanz-Serna, J.M., Verwer, J.G.: Conservative and nonconservative schemes for the solution of the nonlinear Schrödinger equation. IMA J. Numer. Anal. 6, 25–42 (1986)
Shen, J., Tang, T.: Spectral and High-Order Methods with Applications. Science Press, Beijing (2006)
Shen, J., Xu, J., Yang, J.: The scalar auxiliary variable (SAV) approach for gradient. J. Comput. Phys. 353, 407–416 (2018)
Shen, J., Xu, J., Yang, J.: A new class of efficient and robust energy stable schemes for gradient flows. SIAM Rev. 61, 474–506 (2019)
Tang, W., Sun, Y.: Time finite element methods: a unified framework for numerical discretizations of ODEs. Appl. Math. Comput. 219, 2158–2179 (2012)
Tapley, B.K.: Geometric integration of ODEs using multiple quadratic auxiliary variables. SIAM J. Sci. Comput. 44, A2651–A2668 (2022)
Wang, B., Jiang, Y.: Optimal convergence and long-time conservation of exponential integration for schrödinger equations in a normal or highly oscillatory regime. J. Sci. Comput. 90, 1–31 (2022)
Yang, X., Zhao, J., Wang, Q.: Numerical approximations for the molecular beam epitaxial growth model based on the invariant energy quadratization method. J. Comput. Phys. 333, 104–127 (2017)
Zakharov, V.E., Rubenchik, A.M.: Nonlinear interaction between high and low frequency waves. Prikl. Mat. Techn. Fiz. 5, 84–89 (1972)
Zhang, F., Pérez-García, V.M., Vázquez, L.: Numerical simulation of nonlinear Schröinger systems: a new conservative scheme. Appl. Math. Comput. 71, 165–177 (1995)
Zhang, G., Jiang, C.: Arbitrary high-order structure-preserving methods for the quantum Zakharov system. (2022) arXiv:2202.13052
Zhao, X., Li, Z.: Numerical methods and simulations for the dynamics of one-dimensional Zakharov-Rubenchik equations. J. Sci. Comput. 59, 412–438 (2014)
Zhou, X., Wang, T., Zhang, L.: Two numerical methods for the Zakharov-Rubenchik equations. Adv. Comput. Math. 45, 1163–1184 (2019)