Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Bảo tồn xung lượng xấp xỉ cho các phân tích không gian của phương trình sóng bán phi tuyến
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh rằng một phân tích không gian đồng nhất chiều thứ hai của phương trình sóng bán phi tuyến với các điều kiện biên tuần hoàn, phi tuyến phân tích và dữ liệu ban đầu phân tích bảo tồn xung lực với một sai số nhỏ theo cấp số mũ trong kích thước bước. Các ước lượng của chúng tôi có giá trị miễn là các quỹ đạo của phương trình sóng bán phi tuyến hoàn chỉnh vẫn còn là phân tích thực. Phương pháp chứng minh là phân tích sai số ngược, bằng cách xây dựng một phương trình sửa đổi, mà chính nó là Lagrangian và bất biến dịch chuyển, do đó cũng bảo tồn xung lực. Phương trình sửa đổi này nội suy hệ bán rời rạc trong toàn bộ thời gian, và chúng tôi chứng minh rằng nó vẫn gần như cấp số mũ với nội suy hình sin của hệ bán rời rạc. Những tính chất này ngụ ý trực tiếp việc bảo tồn xung lực xấp xỉ cho hệ bán rời rạc. Chúng tôi cũng xem xét các phân tích không phải biến thiên cũng như các phân tích trên lưới không đồng nhất. Thông qua ví dụ số và các lập luận từ cơ học hình học và lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi chỉ ra rằng các phương pháp như vậy nói chung không bảo tồn xung lực một cách xấp xỉ.
Từ khóa
#phương trình sóng bán phi tuyến #bảo tồn xung lực #phân tích không gian #sai số ngược #nội suy hình sin #phương pháp số họcTài liệu tham khảo
Benettin, G., Giorgilli, A.: On the Hamiltonian interpolation of near-to-the-identity symplectic mappings with application to symplectic integration algorithms. J. Statist. Phys. 74, 1117–1143 (1994)
Bridges, T., Reich, S.: Multi-symplectic intergrators: numerical schemes for Hamiltonian PDEs that conserve symplecticity. Phys. Lett. A 284, 184–193 (2001)
Cottet, G.H.: A new approach for the analysis of vortex methods in two and three dimensions. Ann. Analysis Nonlineaire Henri Poinc. 5, 227–285 (1988)
de Frutos, J., Sanz-Serna, J.M.: Accuracy and conservation properties in numerical integration: the case of the Korteweg-de Vries equation. Numer. Math. 75, 421–445 (1997)
Deuflhard, P., Hohmann, A.: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing: An Introduction. Text in Applied Mathematics, Vol. 43, 2nd edition, Springer 2003
Ferrari, A.B., Titi, E.S.: Gevrey regularity for nonlinear analytic parabolic equations. Commun. Partial Diff. Eqs. 23, 1–16 (1998)
Golubitsky, M., Schaeffer, D., Stewart, I.: Singularities and Groups in Bifurcation Theory: Vol. II. Applied Mathematical Sciences 69, Springer, New York, 1988
Hairer, E.: Backward analysis of numerical integrators and symplectic methods. Ann. Numer. Math. 1, 107–132 (1994)
Hairer, E., Lubich, C.: The life-span of backward error analysis for numerical integrators. Numer. Math. 76(4), 441–462 (1997)
Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer, Berlin, 2002
Henry, D.: Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics 840, Springer, New York, 1983
Iooss, G., Kirchgässner, K.: Travelling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators. Commun. Math. Phys. 211, 439–464 (2000)
Levermore, C.D., Oliver, M.: The Complex Ginzburg-Landau Equation as a Model Problem. In: Lectures in Applied Mathematics 31, AMS, Providence, Rhode Island, 1996, pp. 141–190
Lew, A., Marsden, J.E., Ortiz, M., West, M.: Asynchronous variational integrators. Arch. Rat. Mech. Anal. (to appear), 2002
Lord, G.J., Stuart, A.M.: Discrete Gevrey regularity, attractors and upper-semicontinuity for a finite difference approximation to the Ginzburg-Landau equation. Numer. Funct. Anal. Optimiz. 16, 1003–1047 (1995)
Marsden, J.E., Ratiu, T.S.: Introduction to Mechanics and Symmetry. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1994
Marsden, J.E., Patrick, G., Shkoller, S.: Multisymplectic geometry, variational integrators, and nonlinear PDEs. Commun. Math. Phys. 199, 351–395 (1998)
Marsden, J.E., West, M.: Discrete mechanics and variational integrators. Acta Num. 10, 357–514 (2001)
Matthies, K.: Backward error analysis of a full discretisation scheme for a class of parabolic partial differential equations. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 52, 805–826 (2003)
Matthies, K., Scheel, A.: Exponential averaging of Hamiltonian evolution equations. Trans. AMS. To appear
Moore, B., Reich, S.: Backward error analysis for Hamiltonian PDEs with applications to nonlinear wave equations. Numer. Math. To appear
Neishtadt, A.I.: On the separation of motions in systems with rapidly rotating phase. J. Appl. Math. Mech. 48, 134–139 (1984)
Oliver, M., Shkoller, S.: The vortex blob method as a second-grade non-Newtonian fluid. Commun. Partial Diff. Eqs. 26, 295–314 (2001)
Pazy, A.: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer, New York, 1983
Pekarsky, S., West, M.: Discrete multisymplectic reduction and discrete Kelvin’s theorem for ideal fluids. In preparation
Reed, M.C.: Higher order estimates and smoothness of nonlinear wave equations. Proc. Am. Math. Soc. 51, 79–85 (1975)
Reich, S.: Backward error analysis for numerical integrators. SIAM J. Numer. Anal. 36(5), 1549–1570 (1999)
Reich, S.: Multi-symplectic Runge-Kutta collocation methods for Hamiltonian wave equations. J. Com. Phys. 156, 1–27 (1999)
Sanz-Serna, J.: Symplectic integrators for Hamiltonian problems: An overview. Acta Numerica 1, 243–286 (1992)
Skeel, R.D., Gear, C.W.: Does variable step size ruin a symplectic integrator? Physica D 60, 311–313 (1992)
Wulff, C.: Approximate energy conservation for time semidiscretizations of semilinear wave equations. In preparation