Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi hội tụ cho bài toán thiết kế tối ưu
Tóm tắt
Bài toán thiết kế tối ưu cho độ cứng xoắn tối đa của một thanh vô hạn với hình dạng đã cho và phân bố chưa biết của hai vật liệu với lượng đã quy định là một ví dụ mô hình trong tối ưu hóa hình học. Cuối cùng, nó dẫn đến một bài toán tối ưu hóa lồi suy biến. Do đó, phân tích số học là rất tinh vi vì có thể có nhiều biến nguyên thủy u nhưng đạo hàm thì duy nhất σ : = DW(D
u). Ngay cả những ước lượng sai số a posteriori tinh vi vẫn gặp vấn đề về khoảng cách giữa độ tin cậy và hiệu quả. Tuy nhiên, điều này tạo động lực cho một thuật toán tinh chỉnh lưới thích nghi dựa trên cạnh (AFEM) đơn giản mà không được đảm bảo trước để tinh chỉnh ở mọi nơi. Do đó, bằng chứng hội tụ của nó được dựa trên ước lượng năng lượng và một số kiểm soát lồi tinh vi. Các thí nghiệm số minh họa ngay cả tốc độ hội tụ gần như tối ưu của AFEM được đề xuất.
Từ khóa
#tối ưu hóa hình học #lưới thích nghi #độ cứng xoắn #phương pháp phần tử hữu hạn #bài toán tối ưuTài liệu tham khảo
Allaire G. (2002). Shape Optimization by the Homogenization Method. Springer, New York
Bartels S., Carstensen C., Plecháč P. and Prohl A. (2004). Convergence for stabilisation of degenerately convex minimisation problems. Interf. Free Bound 6(2): 253–269
Binev P., Dahmen W. and DeVore R. (2004). Adaptive finite element methods with convergence rates. Numer. Math. 97(2): 219–268
Brenner, S.C., Carstensen, C.: Finite element methods, Chapter 4. In: Encyclopedia of Computational Mechanics. Wiley, New York (2004)
Carstensen, C.: Convergence of adaptive FEM for a class of degenerate convex minimization problems. IMA J. Numer. Anal. (2007, in press). Available at: http://www.mathematik.hu-berlin.de/publ/pre/2006/M-06-15.html (2006)
Carstensen C. and Bartels S. (2002). Each averaging technique yields reliable a posteriori error control in FEM on unstructured grids. I. Low order conforming, nonconforming and mixed FEM. Math. Comput. 71(239): 945–969
Carstensen C. and Jochimsen K. (2003). Adaptive finite element methods for microstructures? Numerical experiments for a 2-well benchmark. Computing 71(2): 175–204
Carstensen C. and Müller S. (2002). Local stress regularity in scalar nonconvex variational problems. SIAM J. Math. Anal. 34(2): 495–509
Carstensen C. and Plecháč P. (1997). Numerical solution of the scalar double-well problem allowing microstructure. Math. Comp. 66(219): 997–1026
Carstensen C. and Plecháč P. (2000). Numerical analysis of compatible phase transitions in elastic solids. SIAM J. Numer. Anal. 37(6): 2061–2081
Cherkaev A. (2000). Variational Methods for Structural Optimization. Springer, New York
Dörfler W. (1996). A convergent adaptive algorithm for Poisson’s equation. SIAM J. Numer. Anal. 33(3): 1106–1124
French D.A. (1990). On the convergence of finite-element approximations of a relaxed variational problem. SIAM J. Numer. Anal. 27(2): 419–436
Goodman J., Kohn R.V. and Reyna L. (1986). Numerical study of a relaxed variational problem from optimal design. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 57(1): 107–127
Hiriart-Urruty J.-B. and Lemaréchal C. (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Grundlehren Text Editions. Springer, Berlin
Kawohl B., Stara J. and Wittum G. (1991). Analysis and numerical studies of a shape design problem. Arch. Rational Mech. 114: 349–363
Kohn, R., Strang, G.: Optimal design and relaxation of variational problems I, II, III. Commun. Pure Appl. Math. 39 , 113–137, 139–182, 353–377 (1986)
Mekchay K. and Nochetto R.H. (2005). Convergence of adaptive finite element methods for general second order linear elliptic PDEs. SIAM J. Numer. Anal. 43(5): 1803–1827
Morin P., Nochetto R.H. and Siebert K.G. (2000). Data oscillation and convergence of adaptive FEM. SIAM J. Numer. Anal. 38(2): 466–488
Morin P., Nochetto R.H. and Siebert K.G. (2003). Local problems on stars: a posteriori error estimators, convergence, and performance. Math. Comput. 72(243): 1067–1097
Murat, F., Tartar, L.: Optimality conditions and homogenization, In: Marino, A., Modica, L., Spagnolo, S., Degiovanni, M. (eds.), Nonlinear Variational Problems. In: Pitman Research Notes in Mathematics, vol. 127. pp. 1–8 (1985)
Murat, F., Tartar, L.: Calcul des variations et homogenization, In: Bergman, D., et al. (eds), Les méthodes de l’homogeneisation: théorie et applications en physique. In: Collection de la Direction des Études et Recherches d’Electricité de France, vol. 57 pp. 319–369 (1985)
Stevenson, R.: Optimality of a standard adaptive finite element method. Found. Comput. Math. Published online: 5 July 2006. doi:10.1007/s10208-005-0183-0 (2006)
Veeser A. (2002). Convergent adaptive finite elements for the nonlinear Laplacian. Numer. Math. 92(4): 743–770