Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương Pháp Thống Nhất Cơ Sở Nhóm cho Phân Tích Fourier Phân Đoạn trên Tổng Hợp Bán Trực Tiếp của Các Nhóm Địa Phương Compact
Tóm tắt
Giả sử H và K là các nhóm địa phương compact và $${\tau : H \to Aut(K)}$$ là một đồng cấu liên tục. Hơn nữa, giả sử rằng $${G_\tau = H \ltimes_\tau K}$$ là sản phẩm bán trực tiếp của H và K theo đồng cấu liên tục $${\tau}$$. Bài báo này trình bày một phương pháp thống nhất cho phân tích Fourier phân đoạn trên $${G_\tau = H \ltimes_\tau K}$$, khi K là nhóm Abel. Nhóm bù $${\tau}$$ (nhóm bù phân đoạn) $${G_{\widehat{\tau}}}$$ của $${G_\tau}$$ được xác định là nhóm sản phẩm bán trực tiếp $${H \ltimes_{\widehat{\tau}}\widehat{K}}$$, trong đó $${\widehat{\tau}: H \to Aut(\widehat{K})}$$ được cho qua $${\widehat{\tau}_h(\omega) : = \omega \circ \tau_{h^{-1}}}$$ cho tất cả $${h \in H}$$ và $${\omega \in \widehat{K}}$$. Chúng tôi sẽ chứng minh một định lý đối xứng Pontrjagin và giới thiệu một phép biến đổi Fourier phân đoạn đơn vị trên $${G_\tau}$$. Là những ví dụ, chúng tôi sẽ nghiên cứu các kỹ thuật này đối với một số nhóm sản phẩm bán trực tiếp nổi tiếng.
Từ khóa
#Phân tích Fourier #nhóm địa phương compact #sản phẩm bán trực tiếp #đồng cấu #đối xứng Pontrjagin.Tài liệu tham khảo
Ali S.T., Antoine J.P., Gazeau J.P.: Coherent States, Wavelets and Their Generalizations. Springer, New York (2000)
Chirikjian, G., Kyatkin, A.: Engineering Applications of Noncommutative Harmonic Analysis With Emphasis on Rotation and Motion Groups. CRC Press, Boca Raton (2001)
Cohen L.: Time-Frequency Analysis. Prentice-Hall, New York (1995)
Corwin L., Greenleaf F.P.: Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications. Part 1: Basic Theory and Examples, vol. 18. Cambridge University Press, Cambridge (1990)
Daubechies I.: Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia (1992)
Deng, L., Yu, C. L., Chakrabarti, C., Kim, J., Narayanan, V.: Efficient image reconstruction using partial 2D Fourier transform. In: Signal Processing Systems, 2008. SiPS 2008. IEEE, New York. doi:10.1109/SIPS.2008.4671736
Dixmier J.: C*-Algebras. North-Holland, Amsterdam (1977)
Fell, J., Doran, R.: Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles, Pure and Applied Mathematics, vol. 1, 1st edn. Academic Press (1998)
Fell, J., Doran, R.: Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles, Pure and Applied Mathematics, vol. 2, 1st edn. Academic Press (1998)
Folland G.B.: A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, Boca Raton (1995)
Folland G.B.: Real analysis, Modern Techniques and Their Applications. Wiley, New York (1999)
Führ H.: Abstract Harmonic Analysis of Continuous Wavelet Transforms. Springer, Berlin (2005)
Führ, H., Mayer, M.: Continuous wavelet transforms from semidirect products, cyclic representation and Plancherel Measure. J. Fourier Anal. Appl. 8(4), 375–398 (2002)
Heil C., Walnut F.D.: Continuous and discrete wavelet transforms. SIAM Rev. 31(4), 628–666 (1989)
Helgason S.: The Radon Transform. Birkhäuser, Basel (1980)
Hewitt, E., Ross, K.A.: Abstract Harmonic Analysis, vol. 1. Springer, Berlin (1963)
Hewitt, E., Ross, K.A.: Abstract Harmonic Analysis, vol. 2. Springer, Berlin (1969)
Hochschild, G.: The Structure of Lie Groups. Holden-day, San Francisco (1965)
Ishi H.: Wavelet transform for semi-direct product groups with not necessarily commutative normal subgroups. J. Fourier Anal. App. 12(1), 37–52 (2006)
Kirillov, A.A., Neretin, Y.A.: Representation Theory and Non-commutative Harmonic Analysis I: Fundamental Concepts. Representations of Virasoro and Affine Algebras, vol. 1. Springer. http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-540-18698-4 (1994)
Kirsch A.: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems. Springer, Berlin (1996)
Liang Z.P., Lauterbur P.C.: Principles of Magnetic Resonance Imaging: A Signal Processing Perspective. SPIE Optical Engineering Press, Bellingham (2000)
Lipsman R.: Non-Abelian Fourier Analysis. Bull. Sci. Math. 2e Ser. 98, 209–233 (1974)
Mackey G.W.: Induced representation of locally compact groups I. Ann. Math. 58, 101–139 (1952)
Mackey G.W.: Induced representation of locally compact groups II. Ann. Math. 58, 193–221 (1953)
McGibney, G., Smith, M.R., Nichols, S.T., Crawley, A.: Quantitative evaluation of several partial Fourier reconstruction algorithms used in MRI. Magn. Reson. Med. 30(1), 51–9 (1993)
Natterer F.: The Mathematics of Computerized Tomography. SIAM, Philadelphia (2001)
Natterer F., Wubbeling F.: Mathematical Methods in Image Reconstruction. Monographs on Mathematical Modeling and Computation. SIAM, Philadelphia (2001)
Peter K.: The Radon Transform and Medical Imaging. SIAM, Philadelphia (2014)
Reiter H., Stegeman J.D.: Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 2nd edn. Oxford University Press, Oxford (2000)
Segal I.E.: An extension of Plancherel’s formula to separable unimodular groups. Ann. Math 52, 272–292 (1950)
Stankovic, R., Moraga, C., Astola, J.: Fourier Analysis on Finite Groups with Applications in Signal Processing and System Design. IEEE, New York (2005)
Taylor, M.E.: Noncommutative harmonic analysis. Mathematics Surveys and Monographs, vol. 22. American Mathematical Society, Providence (1986)
Terras A.: Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, vol. 43. Cambridge University Press, Cambridge (1999)