Đánh Giá Sai Số A Posteriori Địa Phương Cho Các Vấn Đề Nhiệt Đối Lưu Hai Chiều

Springer Science and Business Media LLC - Tập 62 - Trang 399-430 - 2014
Mahboub Baccouch1, Slimane Adjerid2
1Department of Mathematics, University of Nebraska at Omaha, Omaha, USA
2Department of Mathematics, Virginia Tech, Blacksburg, USA

Tóm tắt

Chúng tôi trình bày một phương pháp đánh giá sai số a posteriori đơn giản, hiệu quả và hội tụ asymptotic cho phương pháp Galerkin không đồng đều tối thiểu, được áp dụng cho các vấn đề khuếch tán và đối lưu-khuếch tán hai chiều trên lưới hình chữ nhật. Các không gian phần tử hữu hạn được xây dựng thông qua việc phân tích sai số địa phương và các ước lượng sai số a posteriori được tính toán bằng cách giải quyết các vấn đề địa phương trên mỗi phần tử. Chúng tôi trình bày kết quả tính toán cho một số vấn đề để minh họa hiệu quả và độ chính xác của các ước lượng sai số của chúng tôi. Kết quả cho thấy rằng ngay cả trong sự tồn tại của các lớp biên, các ước lượng sai số của chúng tôi vẫn hội tụ về sai số thực dưới sự tinh chỉnh lưới khi sử dụng lưới Shishkin.

Từ khóa

#Phương pháp Galerkin không đồng đều #Đánh giá sai số a posteriori #Vấn đề khuếch tán và đối lưu #Lưới Shishkin #Sai số địa phương.

Tài liệu tham khảo

Adjerid, S., Baccouch, M.: The discontinuous Galerkin method for two-dimensional hyperbolic problems. I. J. Sci. Comput. 33, 75–113 (2007) Adjerid, S., Baccouch, M.: The discontinuous Galerkin method for two-dimensional hyperbolic problems. II: a posteriori error estimation. J. Sci. Comput. 38, 15–49 (2009) Adjerid, S., Baccouch, M.: Asymptotically exact a posteriori error estimates for a one-dimensional linear hyperbolic problem. Appl. Numer. Math. 60, 903–914 (2010) Adjerid, S., Baccouch, M.: A superconvergent local discontinuous Galerkin method for elliptic problems. J. Sci. Comput. 52, 113–152 (2012) Adjerid, S., Baccouch, M.: Adaptivity and error estimation for discontinuous galerkin methods. In: Feng, X., Karakashian, O., Xing, Y. (eds.) Recent Developments in Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for Partial Differential Equations. The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications, vol. 157, pp. 63–96. Springer International Publishing, Berlin (2014) Adjerid, S., Devine, K.D., Flaherty, J.E., Krivodonova, L.: A posteriori error estimation for discontinuous Galerkin solutions of hyperbolic problems. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 191, 1097–1112 (2002) Adjerid, S., Klauser, A.: Superconvergence of discontinuous finite element solutions for transient convection-diffusion problems. J. Sci. Comput. 22, 5–24 (2005) Adjerid, S., Massey, T.C.: A posteriori discontinuous finite element error estimation for two-dimensional hyperbolic problems. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 191, 5877–5897 (2002) Ainsworth, M., Oden, J.T.: A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis. Wiley, New York (2000) Baccouch, M.: A local discontinuous Galerkin method for the second-order wave equation. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 209–212, 129–143 (2012) Baccouch, M. : The local discontinuous Galerkin method for the fourth-order Euler-Bernoulli partial differential equation in one space dimension. Part I: superconvergence error analysis. J. Sci. Comput. 57, 2013. doi:10.1007/s10915-013-9782-0 Baccouch, M. : The local discontinuous Galerkin method for the fourth-order Euler-Bernoulli partial differential equation in one space dimension. Part II: a posteriori error estimation. J. Sci. Comput. 57, 2013. doi:10.1007/s10915-013-9783-z Baccouch, M.: Asymptotically exact a posteriori LDG error estimates for one-dimensional transient convection-diffusion problems. Appl. Math. Comput. 226, 455–483 (2014) Baccouch, M.: Global convergence of a posteriori error estimates for a discontinuous Galerkin method for one-dimensional linear hyperbolic problems. Int. J. Numer. Anal. Model. 11, 172–193 (2014) Baccouch, M.: Superconvergence and a posteriori error estimates for the LDG method for convection-diffusion problems in one space dimension. Comput. Math. Appl. 67, 1130–1153 (2014) Baccouch, M.: Superconvergence of the local discontinuous Galerkin method applied to the one-dimensional second-order wave equation. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 30, 862–901 (2014) Baccouch, M., Adjerid, S.: Discontinuous Galerkin error estimation for hyperbolic problems on unstructured triangular meshes. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 200, 162–177 (2010) Bustinza, R., Gatica, G. N., Cockburn, B. : An a posteriori error estimate for the local discontinuous Galerkin method applied to linear and nonlinear diffusion problems. J. Sci. Comput. 22–23, 147–185 (2005) Castillo, P.: A superconvergence result for discontinuous Galerkin methods applied to elliptic problems. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 192, 4675–4685 (2003) Celiker, F., Cockburn, B.: Superconvergence of the numerical traces for discontinuous Galerkin and hybridized methods for convection-diffusion problems in one space dimension. Math. Comput. 76, 67–96 (2007) Cheng, Y., Shu, C.-W.: Superconvergence of discontinuous Galerkin and local discontinuous Galerkin schemes for linear hyperbolic and convection-diffusion equations in one space dimension. SIAM J. Numer. Anal. 47, 4044–4072 (2010) Cockburn, B., Dong, B.: An analysis of the minimal dissipation local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems. J. Sci. Comput. 32, 233–262 (2007) Cockburn, B., Karniadakis, G.E., Shu, C.W. (eds.): Discontinuous Galerkin Methods Theory, Computation and Applications, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol. 11. Springer, Berlin (2000) Cockburn, B., Shu, C.W.: TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin methods for scalar conservation laws II: general framework. Math. Comput. 52, 411–435 (1989) Cockburn, B., Shu, C.W.: The local discontinuous Galerkin finite element method for time-dependent convection-diffusion systems. SIAM J. Numer. Anal. 35, 2440–2463 (1998) Lesaint, P., Raviart, P.: On a finite element method for solving the neutron transport equations. In: de Boor, C. (ed.) Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, pp. 89–145. Academic Press, New York (1974) Schötzau, D., Zhu, L.: A robust a posteriori error estimator for discontinuous Galerkin methods for convection-diffusion equations. Appl. Numer. Math. 59, 2236–2255 (2009) Verfurth, R.: A Review of a Posteriori Error Estimation and Adaptive Mesh Refinement Techniques. Teubner-Wiley, Teubner (1996) Xie, Z., Zhang, Z.: Uniform superconvergence analysis of the discontinuous Galerkin methods for a singularly perturbed problem in 1-d. Math. Comput. 79, 35–45 (2009) Xie, Z., Zhang, Z., Zhang, Z.: A numerical study of uniform superconvergence of ldg method for solving singularly perturbed problems. Math. Comput. 27, 280–298 (2009) Zhu, L., Schötzau, D.: A robust a posteriori error estimator for hp DG methods for convection-diffusion equations. IMA J. Numer. Anal. 31, 971–1005 (2011)