Geometric and Functional Analysis

We prove that the range of exponents in Mockenhaupt’s restriction theorem for Salem sets (Geom Funct Anal 10:1579–1587, 2000), with the endpoint estimate due to Bak and Seeger (Math Res Lett 18:767–781, 2011), is optimal.

We prove some ergodic theorems for flat surfaces of finite area. The first result concerns such surfaces whose Teichmüller orbits are recurrent to a compact set of $${SL(2,\mathbb{R})/SL(S,\alpha)}$$ , where SL(S,α) is the Veech group of the surface. In this setting, this means that the translation flow on a flat surface can be renormalized through its Veech group. This result applies in particular to flat surfaces of infinite genus and finite area. Our second result is an criterion for ergodicity based on the control of deforming metric of a flat surface. Applied to translation flows on compact surfaces, it improves and generalizes a theorem of Cheung and Eskin et al. (Partially hyperbolic dynamics, laminations, and Teichmüller flow, Fields Inst. Commun., Vol. 51. Amer. Math. Soc., Providence, pp. 213–221, 2007).

We apply the Bennett–Carbery–Tao multilinear restriction estimate in order to bound restriction operators and more general oscillatory integral operators. We get improved L p estimates in the Stein restriction problem for dimension at least 5 and a small improvement in dimension 3. We prove similar estimates for Hörmander-type oscillatory integral operators when the quadratic term in the phase function is positive definite, getting improvements in dimension at least 5. We also prove estimates for Hörmander-type oscillatory integral operators in even dimensions. These last oscillatory estimates are related to improved bounds on the dimensions of curved Kakeya sets in even dimensions.

((Without Abstract)).

We strengthen the analogy between convex cocompact Kleinian groups and convex cocompact subgroups of the mapping class group of a surface in the sense of B. Farb and L. Mosher.

We establish a strict isoperimetric inequality and a Pohozaev-Rellich identity for the system i∈I = {1,...,N} under certain reasonable conditions on the γιJ andu ι. Thus we prove that under these conditions, all solutionsu ι are radial symmetric and decreasing about some point.

Chúng tôi chứng minh những giới hạn dưới rõ ràng cho năng lực của các miền hình nhẫn của các dưới mặt tối thiểu P m trong các không gian Riemann N n với độ cong mặt cắt được giới hạn từ trên. Chúng tôi xác định các tình huống trong đó các giới hạn dưới cho năng lực thực sự đạt được. Hơn nữa, chúng tôi áp dụng những giới hạn này để chứng minh rằng chuyển động Brownian được định nghĩa trên một dưới mặt tối thiểu hoàn chỉnh là tạm thời khi không gian môi trường là một dạng Hadamard-Cartan cong âm. Chứng minh xuất phát trực tiếp từ các giới hạn năng lực và cũng bao gồm trường hợp của các dưới mặt tối thiểu có chiều m > 2 trong các không gian Euclid.