Hàm zeta của không gian vector tiền đồng nhất với hệ số liên quan đến chu kỳ của các hàm tự động

Proceedings - Mathematical Sciences - Tập 104 - Trang 99-135 - 1994
Fumihiro Sato1
1Department of Mathematics, Rikkyo University, Tokyo, Japan

Tóm tắt

Lý thuyết về các hàm zeta liên quan đến không gian vector tiền đồng nhất (viết tắt là p.v.) cung cấp cho chúng ta một phương pháp tiếp cận thống nhất đối với các phương trình hàm của một lớp lớn các hàm zeta. Tuy nhiên, lý thuyết tổng quát không bao gồm các hàm zeta liên quan đến các hình thức tự động như các hàm HeckeL và các hàm L chuẩn của các hình thức tự động trên GL(n), mặc dù chúng có thể được coi là liên quan đến p.v. một cách tự nhiên. Mục tiêu của chúng tôi là mở rộng lý thuyết này đến các hàm zeta mà hệ số của chúng liên quan đến chu kỳ của các hình thức tự động, bao gồm các hàm zeta đã được đề cập ở trên. Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng lý thuyết đến các p.v. có cấu trúc đối xứng loại Kε và chứng minh phương trình hàm của các hàm zeta gắn liền với các hình thức tự động với đặc tính vô hạn tổng quát. Trong một bài báo khác, chúng tôi đã nghiên cứu trường hợp khi các hình thức tự động được đưa ra bằng các hệ số ma trận của các đại diện đơn vị không thể phân rã của các nhóm compact.

Từ khóa


Tài liệu tham khảo

van den Ban E P, Invariant differential operators on a semisimple symmetric space and finite multiplicities in a Plancherel formula,Ark. Mat. 25 (1987) 175–187 van den Ban E P, Asymptotic behaviour of matrix coefficients related to reductive symmetric spaces,Proc. K. Ned. Akad. Wet. A90 (1987) 225–249 Bernstein I N and Gelfand S I, Meromorphic properties of the functionsP λ,Funct. Anal. Appl. 3 (1969) 68–69 Bopp N and Rubenthaler H, Fonction zêta associée à la série principle sphérique de certaines espaces symétriques,C. R. Acad. Sci. Parist. 310 (1990) 505–508 Borel A, Density and maximality of arithmetic groups,J. Reine Angew. Math. 224 (1966) 78–89 Borel A and Harish-Chandra, Arithmetic subgroups of algebraic groups,Ann. Math. 75 (1962) 485–535 Borel A and Jacquet H, Automorphic forms and automorphic representations,Proc. Symp. pure Math. 33 (1979) part I, 189–202 Chernouso V V, On the Hasse principle for groups of type E8,Sov. Math. Dokl. 39 (1989) 592–596 Epstein P, Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen, I, II,Math. Ann. 56 (1903) 615–644;63 (1907) 205–216 Godement R and Jacquet H,Zeta functions of simple algebras, Lect. notes in Math. No.260, Springer-Verlag (1972) Harish-Chandra,Automorphic forms on semisimple Lie groups, Lect. notes in Math. No. 68, Springer-Verlag (1968) Hejhal D, Some Dirichlet series with coefficients related to periods of automorphic eigen forms,Proc. Jpn Acad. 58 (1982) 413–417 Hecke E, Eine neue art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen, Erste Mitteilung,Math. Z. 1 (1918) 357–376 Hecke E, ibid,Math. Z. 6 (1920) 11–51 Helgason S, Fundamental solutions of invariant differential operators on a symmetric space,Am. J. Math. 86 (1964) 565–601 Helgason S, A duality for symmetric spaces with application to group representations II,Adv. Math. 22 (1976) 187–219 Helgason S,Groups and geometric analysis, Academic Press, 1984 Helgason S, Some results on invariant differential operators on symmetric spaces,Am. J. Math. 114 (1992) 789–811 Katok S and Sarnak P, Heegner points, cycles and Maass forms. Preprint, 1990 Kawai T and Kashiwara M, On holonomic systems for Π Nl=1 (f1 + √-10)λ1,Publ. RIMS, Kyoto Univ. 15 (1979) 551–575 Kottwitz R E, On Tamagawa numbers,Ann. Math. 127 (1988) 629–646 Maass H, Spherical functions and quadratic forms,J. Ind. Math. Soc. 20 (1956) 117–162 Maass H, Zetafunktionen mit Größencharakteren und Kugelfunktionen,Math. Ann. 132 (1957) 1–32 Maass H, Über die räumliche Verteilung der Punkte in Gittern mit indefiniter Metrik,Math. Ann. 138 (1959) 287–315 Maass H,Siegel’s modular forms and Dirichlet series, Letc. notes in Math. No. 216, Springer Verlag (1971) Matsuki T, The orbits of affine symmetric spaces under the action of minimal parabolic subgroups,J. Math. Soc. Jpn 12 (1982) 307–320 Ochiai H, A remark on invariant eigenfunctions on some exceptional noncompact Riemannian symmetric spaces. Preprint, 1990 Oshima T, Poisson transformations on affine symmetric spaces,Proc. Jpn Acad. 55 (1979) 323–327 Oshima T and Sekiguchi J, Eigenspaces of invariant differential operators on an affine symmetric space,Invent. Math. 57 (1980) 1–81 Rossmann W, Analysis on real hyperbolic spaces,J. Funct. Anal. 30 (1978) 448–477 Rubenthaler H, Espaces préhomogenènes de type parabolique. Thèse, Université de Strasbourg, 1982 Sabbah C, Proximité évanescente II,Compos. Math. 64 (1987) 213–241 Sato F, Zeta functions in several variables associated with prehomogeneous vector spaces I, Functional equations,Tôhoku Math. J. 34 (1982) 437–483 Sato F, ibid,Tôhoku Math. J. 35 (1983) 77–99 Sato F, ibid,Ann. Math. 116 (1982) 177–212 Sato F, The Hamburger theorem for Epstein zeta functions,Algebraic Analysis, Vol. II, Academic Press (1989) 789–807 Sato F, On functional equations of zeta distributions,Adv. Studies in Pure Math. 15 (1989) 465–508 Sato F, Zeta functions with polynomial coefficients associated with prehomogeneous vector spaces. Preprint, 1989 Sato F, The Maass zeta functions attached to positive definite quadratic forms,Adv. Studies in pure Math. 21 (1992) 409–443 Sato M, Theory of prehomogeneous vector spaces (Notes by T. Shintani in Japanese),Sugaku no Ayumi 15-1 (1970) 85–157 Sato M and Kimura T, A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their invariants,Nagoya Math. J. 65 (1977) 1–155 Sato M and Shintani T, On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces,Ann. Math. 100 (1974) 131–170 Sekiguchi J, Eigenspaces of the Laplace-Beltrami operator of a hyperboloid,Nagoya Math. J. 79 (1980) 151–185 Shintani T, On zeta functions associated with the vector space of quadratic forms,J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 22 (1975) 25–65 Siegel C,Advanced analytic number theory, Tata Studies in Math. 9, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1980 Terras A,Harmonic analysis on symmetric spaces and applications II, Springer Verlag, 1985 Vust T, Opération de groupes réductifs dans un type de cône presque homogène,Bull. Soc. Math. France 102 (1974) 317–334