Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các hàm zeta và đa thức Bernstein–Sato cho các lý tưởng trong không gian hai chiều
Tóm tắt
Đối với một lý tưởng khác không
$\mathcal {I}\lhd \mathbf {C}[x_{1},\ldots,x_{n}]$
, với
$0\in \operatorname {supp}\mathcal {I}$
, một sự tổng quát của giả thuyết Igusa–Denef–Loeser dự đoán rằng mọi cực của hàm zeta topo của nó là một nghiệm của đa thức Bernstein–Sato của nó. Tuy nhiên, thường chỉ có một vài nghiệm được tìm thấy theo cách này. Theo các ý tưởng của Veys (Adv. Math. 213(1):341–357, 2007), chúng tôi nghiên cứu câu hỏi sau. Liệu có thể tìm thấy một tập hợp
$\mathcal{G}$
của các đa thức g∈C[x
1,…,x
n
], sao cho, với tất cả
$g\in\mathcal{G}$
, mọi cực của hàm zeta topo liên quan đến
$\mathcal {I}$
và dạng thể tích gdx
1∧⋯∧dx
n
trên không gian n-định, là một nghiệm của đa thức Bernstein–Sato của
$\mathcal {I}$
, và sao cho tất cả các nghiệm đều được thực hiện theo cách này. Chúng tôi đưa ra một câu trả lời tiêu cực cho câu hỏi này, cung cấp các ví dụ phản chứng cho các lý tưởng đơn và lý tưởng chính trong chiều hai, và đưa ra một kết quả tích cực một phần.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Abramovich, D., Karu, K., Matsuki, K., Włodarczyk, J.: Torification and factorization of birational maps. J. Am. Math. Soc. 15(3), 531–572 (2002) (electronic). MR MR1896232 (2003c:14016)
Artal Bartolo, E., Cassou-Noguès, P., Luengo, I., Melle Hernández, A.: Monodromy conjecture for some surface singularities. Ann. Sci. Éc. Norm. Super. 35(4), 605–640 (2002). MR MR1981174 (2004e:32030)
Artal Bartolo, E., Cassou-Noguès, P., Luengo, I., Melle Hernández, A.: Quasi-ordinary power series and their zeta functions. Mem. Amer. Math. Soc. 178, 841, vi+85 (2005). MR MR2172403 (2007d:14005)
Bernšteĭn, I.N.: Analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter. Funkcional. Anal. Priložen. 6(4), 26–40 (1972). MR MR0320735 (47 #9269)
Bories, B.: Igusa’s p-adic local zeta function associated to a polynomial mapping and a polynomial integration measure. Manuscr. Math. 138(3–4), 395–417 (2012). doi:10.1007/s00229-011-0497-y
Budur, N., Mustaţǎ, M., Saito, M.: Bernstein–Sato polynomials of arbitrary varieties. Compos. Math. 142(3), 779–797 (2006). MR MR2231202 (2007c:32036)
Budur, N., Mustaţǎ, M., Saito, M.: Combinatorial description of the roots of the Bernstein–Sato polynomials for monomial ideals. Commun. Algebra 34(11), 4103–4117 (2006). MR MR2267574 (2007h:32041)
Budur, N., Mustaţă, M., Saito, M.: Roots of Bernstein–Sato polynomials for monomial ideals: a positive characteristic approach. Math. Res. Lett. 13(1), 125–142 (2006). MR 2200051 (2006k:14003)
Budur, N., Mustaţă, M., Teitler, Z.: The monodromy conjecture for hyperplane arrangements. Geom. Dedic. 153, 131–137 (2011). MR 2819667
Decker, W., Greuel, G.-M., Pfister, G., Schönemann, H.: Singular 3-1-1—A Computer Algebra System for Polynomial Computations (2010). http://www.singular.uni-kl.de
Denef, J., Hoornaert, K.: Newton polyhedra and Igusa’s local zeta function. J. Number Theory 89(1), 31–64 (2001). MR MR1838703 (2002g:11170)
Denef, J., Loeser, F.: Caractéristiques d’Euler–Poincaré, fonctions zêta locales et modifications analytiques. J. Am. Math. Soc. 5(4), 705–720 (1992). MR MR1151541 (93g:11118)
Denef, J., Loeser, F.: Motivic Igusa zeta functions. J. Algebr. Geom. 7(3), 505–537 (1998). MR MR1618144 (99j:14021)
Howald, J., Mustaţă, M., Yuen, C.: On Igusa zeta functions of monomial ideals. Proc. Am. Math. Soc. 135(11), 3425–3433 (2007) (electronic). MR MR2336554 (2008j:11177)
Lemahieu, A., Veys, W.: Zeta functions and monodromy for surfaces that are general for a toric idealistic cluster. Int. Math. Res. Not. 1, 11–62 (2009). MR 2471295
Loeser, F.: Fonctions d’Igusa p-adiques et polynômes de Bernstein. Am. J. Math. 110(1), 1–21 (1988). MR MR926736 (89d:11110)
Loeser, F.: Fonctions d’Igusa p-adiques, polynômes de Bernstein, et polyèdres de Newton. J. Reine Angew. Math. 412, 75–96 (1990). MR MR1079002 (92c:11139)
Némethi, A., Veys, W.: 2010, Generalized monodromy conjecture in dimension two. Preprint
Rockafellar, R.T.: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton (1970)
Sabbah, C.: Proximité évanescente. I. La structure polaire d’un \(\mathcal{D}\)-module. Compos. Math. 62(3), 283–328 (1987). MR 901394 (90a:32014)
Saito, M.: Introduction to a theory of b-functions. Preprint (2006)
Sato, M., Shintani, T.: On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 69, 1081–1082 (1972). MR MR0296079 (45 #5140)
Schulze, M.: Gaussman.lib—A Singular 3-1-1 Library to compute invariants related to the Gauss-Manin system of an isolated hypersurface singularity (2010). http://www.singular.uni-kl.de
Van Proeyen, L., Veys, W.: The monodromy conjecture for zeta functions associated to ideals in dimension two. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60(4), 1347–1362 (2010). MR 2722244
Verdier, J.-L.: Spécialisation de faisceaux et monodromie modérée. In: Analysis and Topology on Singular Spaces, II, III. Astérisque, vol. 101, pp. 332–364. Soc. Math. France, Paris (1983). MR 737938 (86f:32010)
Veys, W.: Poles of Igusa’s local zeta function and monodromy. Bull. Soc. Math. Fr. 121(4), 545–598 (1993). MR MR1254752 (95b:11110)
Veys, W.: Vanishing of principal value integrals on surfaces. J. Reine Angew. Math. 598, 139–158 (2006). MR MR2270570 (2007g:11156)
Veys, W.: Monodromy eigenvalues and zeta functions with differential forms. Adv. Math. 213(1), 341–357 (2007). MR MR2331246 (2009c:32058)
Veys, W., Zúñiga-Galindo, W.A.: Zeta functions for analytic mappings, log-principalization of ideals, and Newton polyhedra. Trans. Am. Math. Soc. 360(4), 2205–2227 (2008). MR MR2366980 (2008i:11140)