Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Quang phổ có đo bằng không của toán tử Mathieu gần đúng
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu toán tử Mathieu gần đúng: (H
α, λ, θ
u)(n)=u(n+1)+u(n-1)+λ cos (2παn+θ)u(n), trên l2(Z), và cho thấy rằng đối với tất cả λ, θ, và gần như mọi α theo Lebesgue, độ đo Lebesgue của quang phổ của nó là chính xác |4–2|λ‖. Cụ thể, đối với |λ|=2, quang phổ là một tập Cantor có độ đo bằng không. Hơn nữa, đối với một tập hợp lớn các α vô tỷ (và |λ|=2), chúng tôi cho thấy rằng chiều Hausdorff của quang phổ nhỏ hơn hoặc bằng 1/2.
Từ khóa
#toán tử Mathieu gần đúng #quang phổ #độ đo Lebesgue #chiều Hausdorff #tập CantorTài liệu tham khảo
Aubry, S., Andre, G.: Analyticity breaking and Anderson localization in incommensurate lattices. Ann. Israel Phys. Soc.3, 133–164 (1980)
Avron, J., Simon, B.: Almost periodic Schrödinger operators. II. The integrated density of states. Duke Math. J.50, 369–391 (1983)
Avron, J., van Mouche, P., Simon, B.: On the measure of the spectrum for the almost Mathieu operator. Commun. Math. Phys.132, 103–118 (1990)
Bellissard, J., Lima, R., Testard, D.: A metal-insulator transition for the almost Mathieu model. Commun. Math. Phys.88, 207–234 (1983)
Bellissard, J., Simon, B.: Cantor spectrum for the almost Mathieu equation. J. Funct. Anal.48, 408–419 (1982)
Chambers, W.: Linear network model for magnetic breakdown in two dimensions. Phys. Rev. A140, 135–143 (1965)
Choi, M.D., Elliott, G.A., Yui, N.: Gauss polynomials and the rotation algebra. Invent. Math.99, 225–246 (1990)
Chulaevsky, V., Delyon, F.: Purely absolutely continuous spectrum for almost Mathieu operators. J. Stat. Phys.55, 1279–1284 (1989)
Cycon, H.L., Froese, R.G., Kirsch, W., Simon, B.: Schrödinger operators. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1987
Delyon, F.: Absence of localization for the almost Mathieu equation. J. Phys. A20, L21-L23 (1987)
Harper, P.G.: Single band motion of conduction electrons in a uniform magnetic field. Proc. Phys. Soc. Lond. A68, 874–892 (1955)
Helffer, B., Sjostrand, J.: Semi-classical analysis for Harper's equation. III. Cantor structure of the spectrum. Mém. Soc. Math. France (N.S.)39, 1–139 (1989)
Hofstadter, D.R.: Energy levels and wave functions of Bloch electrons in a rational or irrational magnetic field. Phys. Rev. B14, 2239–2249 (1976)
Falconer, K.J.: The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge University Press 1985
Fröhlich, J., Spencer, T., Wittwer, P.: Localization for a class of one dimensional quasi-periodic Schrödinger operators. Commun. Math. Phys.132, 5–25 (1990)
Hardy, G.H., Wright, E.M.: An introduction to the theory of numbers, Fifth ed. Oxford: Oxford University Press, 1979
Last, Y.: A relation between a.c. spectrum of ergodic Jacobi matrices and the spectra of periodic approximants. Commun. Math. Phys.151, 183–192 (1993)
Last, Y., Wilkinson, M.: A sum rule for the dispersion relations of the rational Harper's equation. J. Phys. A25, 6123–6133 (1992)
Simon, B.: Almost periodic Schrödinger operators: a review. Adv. Appl. Math.3, 463–490 (1982)
Sinai, Ya.G.: Anderson localization for one-dimensional difference Schrödinger operator with quasiperiodic potential. J. Stat. Phys.46, 861–909 (1987)
Thouless, D.J.: Bandwidth for a quasiperiodic tight binding model. Phys. Rev. B28, 4272–4276 (1983)
Thouless, D.J.: Scaling for the discrete Mathieu equation. Commun. Math. Phys.127, 187–193 (1990)
Thouless, D.J., Tan, Y.: Total bandwidth for the Harper equation. III. Corrections to scaling. J. Phys. A24, 4055–4066 (1991)
Thouless, D.J., Tan, Y.: Scaling, localization and bandwidths for equations with competing periods. Physica A177, 567–577 (1991)
Toda, M.: Theory of nonlinear lattices, 2nd Ed., Chap. 4. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1989
Watson, G.I.: WKB analysis of energy band structure of modulated systems. J. Phys. A24, 4999–5010 (1991)