Khoảng thời gian có trọng số của giới hạn của một quá trình phân nhánh trong một môi trường ngẫu nhiên

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics - Tập 282 - Trang 127-145 - 2013
Xingang Liang1,2, Quansheng Liu2,3
1School of Science, Beijing Technology and Business University, Beijing, China
2Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique, UMR 6205, Université de Bretagne-Sud, Vannes, France
3School of Mathematics and Computing Sciences, Changsha University of Science and Technology, Changsha, China

Tóm tắt

Giả sử (Z n ) là một quá trình phân nhánh siêu phê phán trong một môi trường ngẫu nhiên phân phối độc lập và đồng đều ζ = (ζ 0, ζ 1,…), và hãy để W là giới hạn của kích thước quần thể được chuẩn hóa Z n / $\mathbb{E}$ (Z n |ζ). Chúng tôi trình bày một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của các khoảng thời gian có trọng số của W có dạng $\mathbb{E}$ , với α ≥ 1 và ℓ là một hàm dương thay đổi chậm tại ∞.

Từ khóa

#quá trình phân nhánh #môi trường ngẫu nhiên #khoảng thời gian có trọng số #kích thước quần thể chuẩn hóa

Tài liệu tham khảo

V. I. Afanasyev, “On the maximum of a subcritical branching process in a random environment,” Stoch. Processes Appl. 93, 87–107 (2001). G. Alsmeyer and A. Iksanov, “A log-type moment result for perpetuities and its application to martingales in supercritical branching random walks,” Electron. J. Probab. 14, 289–313 (2009). G. Alsmeyer and D. Kuhlbusch, “Double martingale structure and existence of ϕ-moments for weighted branching processes,” Münster J. Math. 3, 163–212 (2010). G. Alsmeyer and U. Rösler, “On the existence of ϕ-moments of the limit of a normalized supercritical Galton-Watson process,” J. Theor. Probab. 17, 905–928 (2004). K. B. Athreya and S. Karlin, “On branching processes with random environments. I: Extinction probabilities,” Ann. Math. Stat. 42, 1499–1520 (1971). K. B. Athreya and S. Karlin, “On branching processes with random environments. II: Limit theorems,” Ann. Math. Stat. 42, 1843–1858 (1971). K. B. Athreya and P. E. Ney, Branching Processes (Springer, Berlin, 1972). L. E. Baum and M. Katz, “Convergence rates in the law of large numbers,” Trans. Am. Math. Soc. 120, 108–123 (1965). N. H. Bingham and R. A. Doney, “Asymptotic properties of supercritical branching processes. I: The Galton-Watson process,” Adv. Appl. Probab. 6, 711–731 (1974). N. H. Bingham and R. A. Doney, “Asymptotic properties of supercritical branching processes. II: Crump-Mode and Jirina processes,” Adv. Appl. Probab. 7, 66–82 (1975). N. H. Bingham, C. M. Goldie, and J. L. Teugels, Regular Variation (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987). Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales (Springer, New York, 1995). P. Erdős, “On a theorem of Hsu and Robbins,” Ann. Math. Stat. 20, 286–291 (1949). Y. Guivarc’h and Q. Liu, “Propriétés asymptotiques des processus de branchement en environnement aléatoire,” C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1: Math. 332, 339–344 (2001). T. E. Harris, The Theory of Branching Processes (Springer, Berlin, 1963). C. C. Heyde, “Two probability theorems and their application to some first passage problems,” J. Aust. Math. Soc. 4, 214–222 (1964). C. C. Heyde, “Some renewal theorems with application to a first passage problem,” Ann. Math. Stat. 37, 699–710 (1966). P. L. Hsu and H. Robbins, “Complete convergence and the law of large numbers,” Proc. Natl. Acad. Sci. USA 33, 25–31 (1947). A. M. Iksanov, “On some moments of the limit random variable for a normalized supercritical Galton-Watson process,” in Focus on Probability Theory, Ed. by L. R. Velle (Nova Sci. Publ., New York, 2006), pp. 127–134. A. M. Iksanov and U. Rösler, “Some moment results about the limit of a martingale related to the supercritical branching random walk and perpetuities,” Ukr. Math. J. 58, 505–528 (2006). H. Kesten and R. A. Maller, “Two renewal theorems for general random walks tending to infinity,” Probab. Theory Relat. Fields 106, 1–38 (1996). H. Kesten and B. P. Stigum, “A limit theorem for multidimensional Galton-Watson processes,” Ann. Math. Stat. 37, 1211–1223 (1966). D. Kuhlbusch, “On weighted branching processes in random environment,” Stoch. Processes Appl. 109, 113–144 (2004). X. Liang and Q. Liu, “Weighted moments for Mandelbrot’s martingales in random environments,” Preprint (Univ. Bretagne-Sud, UMR 6205, LMBA, Vannes, 2013). D. Tanny, “A necessary and sufficient condition for a branching process in a random environment to grow like the product of its means,” Stoch. Processes Appl. 28, 123–139 (1988). V. A. Topchii and V. A. Vatutin, “Maximum of the critical Galton-Watson processes and left-continuous random walks,” Teor. Veroyatn. Primen. 42(1), 21–34 (1997) [Theory Probab. Appl. 42, 17–27 (1998)].