Phương pháp TSVD nâng cao bằng ngoại suy vector cho các bài toán tuyến tính không xác định rời rạc

K. Jbilou1, L. Reichel2, H. Sadok1
1Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées, Université du Littoral, Centre Universtaire de la Mi-Voix, Calais cedex, France
2Department of Mathematical Sciences, Kent State University, Kent, USA

Tóm tắt

Phân rã giá trị riêng bị cắt (TSVD) là một phương pháp giải quyết phổ biến cho các bài toán tuyến tính không xác định có kích thước nhỏ đến trung bình. Chỉ số cắt có thể được coi là một tham số điều hòa; giá trị của nó ảnh hưởng đến chất lượng của nghiệm xấp xỉ được tính toán. Lựa chọn giá trị phù hợp cho chỉ số cắt thường rất quan trọng, nhưng có thể khó khăn nếu không có thông tin bổ sung về vấn đề đang được giải quyết. Bài báo này mô tả cách các phương pháp ngoại suy vector có thể được kết hợp với TSVD, và minh họa rằng việc xác định giá trị thích hợp của chỉ số cắt ít quan trọng hơn cho phương pháp kết hợp ngoại suy-TSVD so với TSVD đơn thuần. Hiệu suất số của phương pháp kết hợp gợi ý một cách mới để xác định chỉ số cắt.

Từ khóa

#Phân rã giá trị riêng bị cắt #phương pháp ngoại suy vector #các bài toán tuyến tính không xác định #chỉ số cắt #phương pháp kết hợp.

Tài liệu tham khảo

Baart, M.L.: The use of auto-correlation for pseudo-rank determination in noisy ill-conditioned least-squares problems. IMA J. Numer. Anal. 2, 241–247 (1982)

Bakushinskii, A.B.: Remarks on choosing a regularization parameter using quasi-optimality and ratio criterion. U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 24(4), 181–182 (1984)

Brezinski, C.: Généralisation de la transformation de Shanks, de la table de Padé et de l’epsilon-algorithm. Calcolo 12, 317–360 (1975)

Brezinski, C., Redivo Zaglia, M.: Extrapolation Methods: Theory and Practice. North-Holland, Amsterdam (1991)

Brezinski, C., Redivo Zaglia, M., Rodriguez, G., Seatzu, S.: Extrapolation techniques for ill-conditioned linear systems. Numer. Math. 81, 1–29 (1998)

Brezinski, C., Rodriguez, G., Seatzu, S.: Error estimates for linear systems with applications to regularization. Numer. Algorithms (in press)

Cabay, S., Jackson, L.W.: A polynomial extrapolation method for finding limits and antilimits for vector sequences. SIAM J. Numer. Anal. 13, 734–752 (1976)

Eddy, R.P.: Extrapolation to the limit of a vector sequence. In: Wang, P.C.C. (ed.) Information Linkage Between Applied Mathematics and Industry, pp. 387–396. Academic Press, New York (1979)

Ford, W.D., Sidi, A.: Recursive algorithms for vector extrapolation methods. Appl. Numer. Math. 4, 477–489 (1988)

Gander, W., Golub, G.H., Gruntz, D.: Solving linear equations by extrapolation. In: Kovalic, J.S. (ed.) Supercomputing, Nato ASI Series F: Computer and Systems Sciences, vol. 62, pp. 279–293. Springer, Berlin (1989)

Golub, G.H., Kahan, W.: Calculating the singular values and pseudoinverse of a matrix. SIAM J. Numer. Anal. 2, 205–224 (1965)

Golub, G.H., Van Loan, C.F.: Matrix Computations, 3rd edn. Johns Hopkins University Press, Baltimore (1996)

Hansen, P.C.: Regularization tools: A MATLAB package for analysis and solution of discrete ill-posed problems. Numer. Algorithms 6, 1–35 (1994). Software is available in Netlib at http://www.netlib.org

Hansen, P.C.: Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems. SIAM, Philadelphia (1998)

Jbilou, K., Sadok, H.: Some results about vector extrapolation methods and related fixed point iterations. J. Comput. Appl. Math. 36, 385–398 (1991)

Jbilou, K., Sadok, H.: Analysis of some vector extrapolation methods for linear systems. Numer. Math. 70, 73–89 (1995)

Jbilou, K., Sadok, H.: LU-implementation of the modified minimal polynomial extrapolation method. IMA J. Numer. Anal. 19, 549–561 (1999)

Jbilou, K., Sadok, H.: Vector extrapolation methods. Applications and numerical comparison. J. Comp. Appl. Math. 122, 149–165 (2000)

Mesina, M.: Convergence acceleration for the iterative solution of x = Ax + f. Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 10, 165–173 (1977)

Pugatchev, B.P.: Acceleration of the convergence of iterative processes and a method for solving systems of nonlinear equations. U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 17, 199–207 (1978)

Sidi, A.: Convergence and stability of minimal polynomial and reduced rank extrapolation algorithms. SIAM J. Numer. Anal. 23, 197–209 (1986)

Sidi, A.: Extrapolation vs. projection methods for linear systems of equations. J. Comput. Appl. Math. 22, 71–88 (1988)

Sidi, A., Bridger, J.: Convergence and stability analyses for some vector extrapolation methods in the presence of defective iteration matrices. J. Comput. Appl. Math. 22, 35–61 (1988)

Sidi, A., Ford, W.F., Smith, D.A.: Acceleration of convergence of vector sequences. SIAM J. Numer. Anal. 23, 178–196 (1986)

Smith, D.A., Ford, W.F., Sidi, A.: Extrapolation methods for vector sequences. SIAM Rev. 29, 199–233 (1987); correction, SIAM Rev. 30, 623–624 (1988)