Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tính Đặc Hữu và Không Đặc Hữu của Chu Kỳ Giới Hạn cho Các Hệ Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Chia Miền với Ba Khu Vực và Không Đối Xứng
Tóm tắt
Một số kỹ thuật chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của chu kỳ giới hạn cho các hệ vi phân mịn được mở rộng cho các hệ vi phân tuyến tính chẻ miếng liên tục với hai và ba khu vực và không có tính đối xứng. Đối với các hệ thống mặt phẳng có ba vùng tuyến tính, sự tồn tại của hai chu kỳ giới hạn bao quanh điểm cân bằng duy nhất tại gốc tọa độ được chứng minh một cách nghiêm ngặt lần đầu tiên. Tính hữu ích của các kết quả phân tích đạt được được minh họa bằng cách xem xét các bộ dao động điện tử dựa trên memristor không đối xứng.
Từ khóa
#chu kỳ giới hạn #hệ phương trình vi phân #tuyến tính #khu vực #đối xứngTài liệu tham khảo
Carletti, T., Villari, G.: A note on existence and uniqueness of limit cycles for Liénard systems. J. Math. Anal. Appl. 307, 763–773 (2005)
Carmona, V., Freire, E., Ponce, E., Torres, F.: On simplifying and classifying piecewise linear systems. IEEE Trans. Circuits Syst. I: Fundam. Theory Appl. 49, 609–620 (2002)
Chua, L.O.: Memristor: the missing circuit element. IEEE Trans. Circuit Theory CT–18, 507–519 (1971)
Corinto, F., Ascoli, A., Gilli, M.: Nonlinear dynamics of memristor oscillators. IEEE Trans. Ciruits Syst. I: Regul. Pap. 58, 1323–1336 (2011)
di Bernardo, M., Budd, C.J., Champneys, A.R., Kowalczyk, P.: Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. Springer, London (2008)
Dumortier, F., Li, C.: On the uniqueness of limit cycles surrounding one or more singularities for Liénard equations. Nonlinearity 9, 1489–1500 (1996)
Dumortier, F., Llibre, J., Artés, J.C.: Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Universitext, Springer, Berlin (2006)
Dumortier, F., Rousseau, C.: Cubic Liénard equations with linear damping. Nonlinearity 3, 1015–1039 (1990)
de Figueiredo, R.J.P.: Existence and uniqueness of the periodic solutions of an equation for autonomous oscillations. In: Cesari, L., LaSalle, J., Lefschetz, S. (eds.) Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations (Annals of Mathematical Studies, No. 45), pp. 269–284. Princeton University Press, Princeton (1960)
Freire, E., Ponce, E., Rodrigo, F., Torres, F.: Bifurcation sets of continuous piecewise linear systems with two zones. Int. J. Bifurc. Chaos 8, 2073–2097 (1998)
Freire, E., Ponce, E., Rodrigo, F., Torres, F.: Bifurcation sets of continuous piecewise linear systems with three zones. Int. J. Bifurc. Chaos 12, 1675–1702 (2002)
Freire, E., Ponce, E., Ros, J.: Limit cycle bifurcation from center in symmetric piecewise-linear systems. Int. J. Bifurc. Chaos 9, 895–907 (1999)
Freire, E., Ponce, E., Torres, F.: Hopf-like bifurcations in planar piecewise linear systems. Publ. Matemàtiques 41, 135–148 (1997)
Freire, E., Ponce, E., Torres, F.: Canonical discontinuous planar piecewise linear systems. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 11, 181–211 (2012)
Gasull, A., Giacomini, H., Llibre, J.: New criteria for the existence and non-existence of limit cycles in Liénard differential systems. Dyn. Syst.: Int. J. 24, 171–185 (2009)
Giannakopoulos, F., Pliete, K.: Planar systems of piecewise linear differential equations with a line of discontinuity. Nonlinearity 14, 1611–1632 (2001)
Hilbert, D.: Mathematische Probleme, Lecture, Second Internat. Congr. Math. (Paris, 1900), Nachr. Ges. Wiss. G”ttingen Math. Phys. KL. (1900), 253–297; English transl., Bull. Amer. Math. Soc., 8, 437–479 (1902)
Hogan, S.J.: Relaxation oscillations in a system with a piecewise smooth drag coefficient. J. Sound Vib. 263, 467–471 (2003)
Ilyashenko, Yu.: Centennial history of Hilbert’s 16th problem. Bull. Am. Math. Soc. 39, 301–354 (2002)
Itoh, M., Chua, L.O.: Memristor oscillators. Int. J. Bifurc. Chaos 18, 3183–3206 (2008)
Khibnik, A.I., Krauskopf, B., Rousseau, C.: Global study of a family of cubic Liénard equations. Nonlinearity 11, 1505–1519 (1998)
Lefschetz, S.: Stability of Non-linear Control Systems. Academic Press, New York (1965)
Li, J.: Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields, internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Eng. 13, 47–106 (2003)
Llibre, J., Mereu, A.C., Teixeira, M.A.: Limit cycles of the generalized polynomial Liénard differential equations. Math. Proc. Camb. Phyl. Soc. 148, 363–383 (2009)
Llibre, J., Ordóñez, M., Ponce, E.: On the existence and uniqueness of limit cycles in a planar piecewise linear systems without symmetry. Nonlinear Anal. Ser. B: Real World Appl. 14, 2002–2012 (2013)
Llibre, J., Ponce, E.: Three nested limit cycles in discontinuous piecewise linear differential systems with two zones. Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. B 19, 325–335 (2012)
Llibre, J., Sotomayor, J.: Phase portraits of planar control systems. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 27, 1177–1197 (1996)
Llibre, J., Teruel, A.: Introduction to the Qualitative Theory of Differential Systems, Planar, Symmetric and Continuous Piecewise Linear Differential Systems. Birkhäuser Advanced Texts, Berlin (2013)
Llibre, J., Valls, C.: Limit cycles for a generalization of Liénard polynomial differential systems. Chaos Solitons Fractals 46, 65–74 (2013)
Narendra, K.S., Taylor, J.M.: Frequency Domain Criteria for Absolute Stability. Academic Press, New York (1973)
Perko, L.: Differential equations and dynamical systems, 3rd edn. Texts in Applied Mathematics. Springer, New York (2001)
Ponce, E., Ros, J., Vela, E.: Limit cycle and boundary equilibrium bifurcations in continuous planar piecewise systems. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Eng. 25(3), 1530008 (2015). doi: 10.1142/S0218127415300086
Ponce, E., Ros, J., Vela, E.: The focus-center-limit cycle bifurcation in discontinuous planar piecewise linear systems without sliding, In: Progress and Challenges in Dynamical Systems (S. Ibáñez, J. S. Pérez del Río, A. Pumario and J.A. Rodríguez, editors). Springer Proceedings in Mathematics & Statistics 54, 335–349 (2013)
Smale, S.: Mathematical problems for the next century. Math. Intell. 20, 7–15 (1998)
Strukov, D.B., Snider, G.S., Stewart, D.R., Williams, R.S.: The missing memristor found. Nature 453, 80–83 (2008)
van Horssen, W.T.: On oscillations in a system with a piecewise smooth coefficient. J. Sound Vib. 283, 1229–1234 (2005)
Xiao, D., Zhang, Z.: On the uniqueness and nonexistence of limit cycles for predator-prey systems. Nonlinearity 16, 1185–1201 (2003)
Yan-Qian, Ye., et al.: Theory of Limit Cycles, vol. 66. Translations of Math. Monographs, Am. Math. Soc., Providence, (1986)
Zhang Zhifen, Z., Ding, T., Huang, W., Dong, Z.: Qualitative Theory of Differential Equations, vol. 101. Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc, Providence (1992)
Zou, Y., Küpper, T., Beyn, W.-J.: Generalized Hopf bifurcations for planar Filippov systems continuous at the origin. J. Nonlinear Sci. 16, 159–177 (2006)