Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Vấn đề đảo ngược yếu của định lý Zeckendorf
Tóm tắt
Theo định lý Zeckendorf, mỗi số nguyên dương có thể được viết duy nhất dưới dạng tổng của các số hạng phi cạnh nhau trong dãy Fibonacci, và định lý đảo của nó tuyên bố rằng nếu một dãy số có thuộc tính này trong các số nguyên dương, thì nó phải là dãy Fibonacci. Nếu thay vào đó, chúng ta xem xét vấn đề tìm kiếm một dãy đơn điệu có thuộc tính như vậy, chúng ta gọi đó là định lý đảo yếu của định lý Zeckendorf. Trong bài báo này, chúng tôi trước tiên giới thiệu một sự tổng quát của các điều kiện Zeckendorf, và tiếp theo đó, các định lý Zeckendorf cùng với các định lý đảo yếu của chúng cho các điều kiện Zeckendorf tổng quát. Chúng tôi cũng mở rộng sự tổng quát và các kết quả này cho các số thực trong khoảng (0, 1), và cho các số nguyên p-đạo.
Từ khóa
#định lý Zeckendorf #dãy Fibonacci #dãy đơn điệu #số thực #số nguyên p-đạoTài liệu tham khảo
Brauer, A.: On algebraic equations with all but one root in the interior of the unit circle. Math. Nachr. 4, 250–257 (1951)
Bruckman, P.S.: The generalized Zeckendorf theorem. Fibonacci Q. 27, 338–347 (1989)
Chang, S.: Average numbers of Zeckendorf integers. J. Number Theory 186, 452–472 (2018)
Cordwell, K., Hlavacek, M., Huynh, C., Miller, S.J., Peterson, C., Nhi, Y., Vu, T.: Summand minimality and asymptotic convergence of generalized Zeckendorf decompositions. Res. Number Theory 4, 43 (2018)
Daykin, D.E.: Representation of natural numbers as sums of generalized Fibonacci numbers. J. Lond. Math. Soc. 35, 143–160 (1960)
Daykin, D.E., Hilton, J.W.: Bases for intervals of real numbers. Fibonacci Q. 6, 335–349 (1968)
Dubickas, A., Sha, M.: Counting and testing dominant polynomials. Exp. Math. 24, 312–325 (2015)
Fenwick, P.: Zeckendorf integer arithmetic. Fibonacci Q. 41, 405–413 (2003)
Fraenkel, A.S.: System of numeration. Am. Math. Mon. 92, 105–114 (1985)
Frougny, C., Solomyak, B.: Finite beta-expansions. Ergod. Theory Dyn. Syst. 12, 713–723 (1992)
Grabner, P.J., Tichy, R.F., Nemes, I., Petho, A.: Generalized Zeckendorf expansion. Appl. Math. Lett. 7, 25–28 (1994)
Keller, T.J.: Generalizations of Zeckendorf’s theorem. Fibonacci Q. 10, 95–102 (1972)
Kimberling, C.: The Zeckendorf array equals the Wythoff array. Fibonacci Q. 33, 3–8 (1995)
Kologlu, M., Kopp, G.S., Miller, S.J., Wang, Y.: On the number of summands in the Zeckendorf decompositions. Fibonacci Q. 49(2), 116–130 (2011)
Ostrowski, A.M.: Solution of Equations in Euclidean and Banach Spaces. Academic Press, New York (1973)
Parry, W.: On the \(\beta \)-expansions of real numbers. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 11, 401–416 (1960)
Robbins, N.: Fibonacci partitions. Fibonacci Q. 34(4), 306–313 (1996)
Zeckendorf, E.: Représentation des nombres naturels par une somme des nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas. Bull. Soc. R. Sci. Liége 41, 179–182 (1972)