Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Bài toán N-cơ thể hành tinh: phân lớp giao hoán, giảm bớt và torus bất biến
Tóm tắt
Không gian pha có 6n chiều của bài toán (1+n)-cơ thể hành tinh (sau khi giảm chiều tổng động lượng đường tuyến tính) được chứng minh là được phân lớp bởi các lá giao hoán có chiều (6n−2) không thay đổi đối với Hamiltonian hành tinh
${\mathcal{H}}$
. Phân lớp này được mô tả bằng một tập hợp tọa độ Darboux toàn cầu mới liên quan đến việc giảm bớt các phép quay một phần giao hoán. Trên mỗi lá giao hoán
${\mathcal{H}}$
giữ nguyên hình thức và được chứng minh là bảo toàn các đối xứng cổ điển. Các tập hợp tọa độ Darboux khác cũng có thể được giới thiệu trên các lá giao hoán nhằm đạt được một sự giảm bớt (hoàn toàn) về các phép quay. Tiếp theo, thông qua các phép toán cụ thể, được chứng minh rằng trong các thiết lập đã giảm, một số sự suy thoái được loại bỏ. Đặc biệt, độ xoắn hoàn toàn được kiểm tra ở cả từng phần và thiết lập đã giảm hoàn toàn. Do đó, ngay lập tức dễ dàng suy ra một chứng minh trực tiếp mới của định lý Arnold (Arnold trong Russ. Math. Surv. 18(6):85–191, 1963) về tính ổn định của hệ hành tinh (cả trong các thiết lập một phần và giảm hoàn toàn), tạo ra các torus bất biến Lagrangian Diophantine có chiều (3n−1) và (3n−2). Cuối cùng, các torus có chiều thấp hơn dạng elip rẽ nhánh từ trạng thái cân bằng thế tục dễ dàng thu được.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Abdullah, K., Albouy, A.: On a strange resonance noticed by M. Herman. Regul. Chaotic Dyn. 6(4), 421–432 (2001)
Arnold, V.I.: Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics. Russ. Math. Surv. 18(6), 85–191 (1963)
Biasco, L., Chierchia, L., Valdinoci, E.: Elliptic two-dimensional invariant tori for the planetary three-body problem. Arch. Ration. Mech. Anal. 170, 91–135 (2003). See also: Corrigendum. Arch. Ration. Mech. Anal. 180, 507–509 (2006)
Biasco, L., Chierchia, L., Valdinoci, E.: n-Dimensional elliptic invariant tori for the planar (n+1)-body problem. SIAM J. Math. Anal. 37(5), 1560–1588 (2006)
Celletti, A., Chierchia, L.: Construction of stable periodic orbits for the spin-orbit problem of celestial mechanics. Regul. Chaotic Dyn. 3(3), 107–121 (1998). J. Moser at 70 (Russian)
Celletti, A., Chierchia, L.: KAM tori for N-body problems: a brief history. Celest. Mech. Dyn. Astron. 95(1–4), 117–139 (2006)
Celletti, A., Chierchia, L.: KAM stability and celestial mechanics. Mem. Am. Math. Soc. 187(878), viii+134 (2007)
Chierchia, L., Pinzari, G.: Deprit’s reduction of the nodes revisited. Celest. Mech. Dyn. Astron. (2011, in press). doi:10.1007/s10569-010-9329-8. Preprint, http://www.mat.uniroma3.it/users/chierchia
Chierchia, L., Pinzari, G.: Planetary Birkhoff normal forms. Preprint, http://www.mat.uniroma3.it/users/chierchia (2010)
Chierchia, L., Pinzari, G.: Properly-degenerate KAM theory (following V.I. Arnold). Discrete Contin. Dyn. Syst. 3(4), 545–578 (2010)
Chierchia, L., Pusateri, F.: Analytic Lagrangian tori for the planetary many-body problem. Ergod. Theory Dyn. Syst. 29(3), 849–873 (2009)
Deprit, A.: Elimination of the nodes in problems of n bodies. Celest. Mech. 30(2), 181–195 (1983)
Eliasson, L.H.: Perturbations of stable invariant tori for Hamiltonian systems. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. (4) 15(1), 115–147 (1989)
Féjoz, J.: Quasiperiodic motions in the planar three-body problem. J. Differ. Equ. 183(2), 303–341 (2002)
Féjoz, J.: Démonstration du ‘théorème d’Arnold’ sur la stabilité du système planétaire (d’après Herman). Ergod. Theory Dyn. Syst. 24(5), 1521–1582 (2004)
Féjoz, J.: Démonstration du ‘théorème d’Arnold’ sur la stabilité du système planétaire (d’après Herman). Version révisée de l’article paru dans le Michael Herman Memorial Issue. Ergod. Theory Dyn. Syst. 24(5), 1521–1582 (2004). Available at http://people.math.jussieu.fr/fejoz/articles.html
Herman, M.R.: Torsion du problème planètaire, edited by J. Fejóz in 2009. Available in the electronic ‘Archives Michel Herman’ at http://www.college-de-france.fr/default/EN/all/equ_dif/archives_michel_herman.htm
Hofer, H., Zehnder, E.: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics. Birkhäuser, Basel (1994)
Jacobi, C.G.J.: Sur l’élimination des noeuds dans le problème des trois corps. Astron. Nachr. XX, 81–102 (1842)
Kuksin, S.B.: Perturbation theory of conditionally periodic solutions of infinite-dimensional Hamiltonian systems and its applications to the Korteweg-de Vries equation. Mat. Sb. (N.S.) 136(7), 396–412 (1988)
Malige, F., Robutel, P., Laskar, J.: Partial reduction in the n-body planetary problem using the angular momentum integral. Celest. Mech. Dyn. Astron. 84(3), 283–316 (2002)
Melnikov, V.K.: On certain cases of conservation of almost periodic motions with a small change of the Hamiltonian function. Dokl. Akad. Nauk SSSR 165, 1245–1248 (1965)
Pinzari, G.: On the Kolmogorov set for many–body problems. PhD thesis, Università Roma Tre, April 2009. http://www.mat.uniroma3.it/users/chierchia/TESI/PhD_Thesis_GPinzari.pdf
Pöschel, J.: On elliptic lower-dimensional tori in Hamiltonian systems. Math. Z. 202(4), 559–608 (1989)
Robutel, P.: Stability of the planetary three-body problem. II. KAM theory and existence of quasiperiodic motions. Celest. Mech. Dyn. Astron. 62(3), 219–261 (1995). See also: Erratum, Celest. Mech. Dyn. Astron. 84(3), 317 (2002)
Rüssmann, H.: Nondegeneracy in the perturbation theory of integrable dynamical systems. In: Stochastics, Algebra and Analysis in Classical and Quantum Dynamics, Marseille, 1988. Math. Appl., vol. 59, pp. 211–223. Kluwer Academic, Dordrecht (1990)
Siegel, C.L., Moser, J.K.: Lectures on Celestial Mechanics. Springer, Berlin (1995). Reprint of the 1971 edition