Toán học của chuyển động Brown và tiếng ồn Johnson

Một lý do khiến chuyển động Brown và tiếng ồn Johnson trở thành những chủ đề khó dạy là yêu cầu toán học của chúng vượt ra ngoài khả năng của phép tính vi phân thông thường. Bài viết này trình bày một giải thích về sự mở rộng cần thiết của phép tính, cụ thể là lý thuyết quá trình Markov liên tục, dưới một hình thức dễ tiếp cận cho sinh viên vật lý trình độ cao. Bài viết chỉ ra cách mà khuôn khổ toán học này cho phép đưa ra những suy luận rõ ràng, ngắn gọn về tất cả các kết quả chính của chuyển động Brown và tiếng ồn Johnson, bao gồm các công thức dao động – phân tán, các công thức vận chuyển tự hiệp phương sai, các công thức mật độ quang phổ, công thức Nyquist, các khái niệm về tiếng ồn trắng và tiếng ồn 1/f², và một thuật toán mô phỏng số chính xác. Một lợi ích bổ sung của bài viết này là cái nhìn rõ ràng hơn về mối liên hệ toán học giữa hai cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau đối với chuyển động Brown mà Einstein và Langevin đã thực hiện trong các bài báo tiên phong của họ vào năm 1905 và 1908.