Định lý Jordan mở rộng và mối quan hệ giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier

Định lý Jordan có thể được sử dụng cho một phạm vi rộng hơn so với định dạng ban đầu. Định lý Jordan mở rộng có thể được mô tả như sau. Gọi f(z) là hàm phân tích trong nửa trên của mặt phẳng z (Imz ≥ 0), với ngoại lệ là một số hữu hạn các điểm kỳ dị tách rời. Đối với p > 0, nếu $$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \left\| {f(Rei^\varphi )} \right\|Re^{ - Rp} = 0$$ thì $$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_{C^R } f (z)e^{i^{p^z } } dz = 0$$ trong đó z=Reiϕ và CR là nửa tròn mở trong nửa trên của mặt phẳng z. Với định lý Jordan mở rộng, có thể thấy rằng biến đổi Laplace và biến đổi Fourier là một cặp các biến đổi tích phân có liên quan đến nhau.