Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Vấn đề ergodic cho một số toán tử phụ elliptic với hệ số không bị chbound
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của thước đo bất biến cho các quá trình ngẫu nhiên với khuếch tán suy biến, trong đó các toán tử sinh vi phân là các toán tử phụ elliptic tuyến tính trên toàn bộ không gian $${{\mathbb{R}}^N}$$ với các hệ số có thể không bị chbound. Thước đo như vậy, kết hợp với định lý kiểu Liouville, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong hai ứng dụng: vấn đề ergodic được nghiên cứu thông qua các vấn đề trạng thái với mức giảm dần biến mất và hành vi lâu dài của nghiệm cho một bài toán Cauchy parabol. Trong cả hai trường hợp, các hằng số sẽ được định hình theo thước đo bất biến.
Từ khóa
#vấn đề ergodic #toán tử phụ ellipitic #thước đo bất biến #bài toán Cauchy parabol #khuếch tán suy biến.Tài liệu tham khảo
Alvarez, O., Bardi, M.: Ergodicity, stabilization, and singular perturbations for Bellman–Isaacs equations. Mem. Am. Math. Soc. 204, 1–77 (2010)
Alvarez O., Bardi M., Marchi C.: Multiscale problems and homogenization for second-order Hamilton–Jacobi equations. J. Differ. Equ. 243, 349–387 (2007)
Arapostathis, A., Borkar, V.S., Ghosh, M.K.: Ergodic control of diffusion processes. In: Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 143. Cambridge University Press (2012)
Arisawa M., Lions P.L.: On ergodic stochastic control. Commun. Partial Differ. Equ. 23, 2187–2217 (1998)
Arnold L., Kliemann W.: On unique ergodicity for degenerate diffusions. Stochastics 21, 41–61 (1987)
Bardi, M., Cesaroni, A.: Liouville properties and critical value of fully nonlinear elliptic operators. J. Differ. Equ. (2016). doi:10.1016/j.jde.2016.06.006
Bardi M., Cesaroni A., Manca L.: Convergence by viscosity methods in multiscale financial models with stochastic volatility. SIAM J. Financ. Math. 1, 230–265 (2010)
Bardi M., Da Lio F.: Propagation of maxima and strong maximum principle for viscosity solutions of degenerate elliptic equations. I, Convex operators. Nonlinear Anal. 44, 991–1006 (2001)
Basak G.K., Borkar V.S., Ghosh M.K.: Ergodic control of degenerate diffusions. Stoch. Anal. Appl. 15, 1–17 (1997)
Bensoussan A., Lions J.L.: Asymptotic Analysis for Periodic Structures. North-Holland, Amsterdam (1978)
Bensoussan, A.: Perturbation Methods in Optimal Control, Wiley/Gauthier-Villars Series in Modern Applied Mathematics. Wiley, Chichester, Gauthier-Villars, Montrouge (1988)
Birindelli I., Capuzzo Dolcetta I., Cutrì A.: Liouville theorems for semilinear equations on the Heisenberg group. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 14, 295–308 (1997)
Birindelli I., Capuzzo Dolcetta I., Cutrì A.: Indefinite semi-linear equations on the Heisenberg group: a priori bounds and existence. Commun. Partial Differ. Equ. 23, 1123–1157 (1998)
Biroli M., Mosco U., Tchou N.: Homogenization by the Heisenberg group. Adv. Math. Sci. Appl. 7, 809–831 (1997)
Bony J.M.: Principe du maximum, inégalite de Harnack et unicité du probléme de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénérés. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 19, 277–304 (1969)
Capuzzo Dolcetta I., Cutrì A.: On the Liouville property for sub-Laplacians. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 25(4), 239–256 (1997)
Cirant M.: On the solvability of some ergodic control problems. SIAM J. Control Optim. 52, 4001–4026 (2014)
Dragoni F., Kontis V., Zegarlinski B.: Ergodicity of Markov semigroups with Hörmander type generators in infinite dimensions. Potential Anal. 37, 199–227 (2012)
Fleming W.H., Soner H.M.: Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer, Berlin (1993)
Has’minskiĭ, R.Z.: Stochastic stability of differential equations. In: Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids: Mechanics and Analysis, vol. 7. Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn–Germantown, Md. (1980)
Hörmander L.: Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. Upps. 119, 147–171 (1967)
Ichihara K., Kunita H.: A classification of the second order degenerate elliptic operators and its probabilistic characterization. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 30, 235–254 (1974)
Kabanov, Y.; Pergamenshchikov, S.: Two-scale stochastic systems. Asymptotic analysis and control. In: Applications of Mathematics (New York), Stochastic Modelling and Applied Probability, vol. 49. Springer, Berlin (2003)
Krylov N.V.: Hölder continuity and \({L_p}\) estimates for elliptic equations under general Hörmander’s condition. Topol. Methods Nonlinear Anal. 9, 249–258 (1997)
Kunita H.: Asymptotic behavior of the nonlinear filtering errors of Markov processes. J. Multivar. Anal. 1, 365–393 (1971)
Kushner, H.J: Weak convergence methods and singularly perturbed stochastic control and filtering problems. Birkhäuser, Boston (1990)
Lions, P.L.: Lectures at Collège de France 2014–2015. http://www.college-de-france.fr/site/pierre-louis-lions/course-2014-2015.htm Accessed 10 July 2016
Lions, P.L., Musiela, M.: Ergodicity of diffusion processes (unpublished)
Lorenzi L., Bertoldi M.: Analytical Methods for Markov Semigroups. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (2007)
Mannucci, P., Marchi, C., Tchou, N.: Singular perturbations for some unbounded subelliptic operators (unpublished)
Mannucci P., Stroffolini B.: Periodic homogenization under a hypoellipticity condition. NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. 22, 579–600 (2015)
Oleinik O.A., Radkevic E.V.: Second Order Equations with Nonnegative Characteristic Form. Plenum Press, New York (1973)