Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Điều kiện độ dốc bị giới hạn cho phương trình parabol với tích phân phụ thuộc thời gian
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán Cauchy–Dirichlet
$$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} \partial _t u - {\text {div}} \left( D_\xi f(t, Du)\right) = 0 &{} \quad \hbox {trong} \ \Omega _T, \\ u = u_o &{} \quad \hbox {trên} \ \partial _{\mathcal {P}} \Omega _T,\\ \end{array} \right. \end{aligned}$$
trong đó
$$\Omega \subset \mathbb {R}^n$$
là một miền lồi và bị giới hạn, và
$$f:[0,T]\times {\mathbb {R}}^n \rightarrow {\mathbb {R}}$$
là một hàm tích phân theo $L^1$ theo thời gian và lồi theo biến thứ hai. Giả định rằng điều kiện dữ liệu ban đầu và biên
$$u_o:{\overline{\Omega }}\rightarrow {\mathbb {R}}$$
đáp ứng điều kiện độ dốc bị giới hạn, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một nghiệm biến thiên duy nhất mà liên tục Lipschitz theo biến không gian.
Từ khóa
#Phương trình parabol #điều kiện độ dốc bị giới hạn #nghiệm biến thiên #tính liên tục LipschitzTài liệu tham khảo
Bebendorf, M.: A note on the Poincaré inequality for convex domains. Z. Anal. Anwendungen 22(4), 751–756 (2003)
Bousquet, P.: On the lower bounded slope condition. J. Convex Anal. 14(1), 119–136 (2007)
Bousquet, P.: Boundary continuity of solutions to a basic problem in calculus of variations. Adv. Calc. Var. 3(1), 1–27 (2010)
Bousquet, P., Brasco, L.: Global Lipschitz continuity for minima of degenerate problems. Math. Ann. 366(3–4), 1403–1450 (2016)
Bögelein, V., Duzaar, F., Marcellini, P.: Parabolic systems with \(p, q\)-growth: a variational approach. Arch. Ration. Mech. Anal. 210(1), 219–267 (2013)
Bögelein, V., Duzaar, F., Mingione, G.: The regularity of general parabolic systems with degenerate diffusion. Mem. Am. Math. Soc. 221(1041), 1–143 (2013)
Bögelein, V., Duzaar, F., Marcellini, P., Signoriello, S.: Parabolic equations and the bounded slope condition. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 34(2), 355–379 (2017)
Bögelein, V., Stanin, T.: The one-sided bounded slope condition in evolution problems. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 199(2), 573–587 (2020)
Da Prato, G.: Spazi \(\cal{L} ^{(p, \vartheta )}(\Omega, \delta )\) e loro proprieta. Ann. Math. Pura Appl. 69(4), 383–392 (1965)
Don, S., Lussardi, L., Pinamonti, A., Treu, G.: Lipschitz minimizers for a class of integral functionals under the bounded slope condition. Nonlinear Anal. 216, 112689 (2016)
Ekeland, I., Temam, R.: Convex Analysis and Variational Problems. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (1999)
Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure Theory and Fine Properties of Functions (Revised Version). Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton (2015)
Giannetti, F., Treu, G.: On the Lipschitz regularity for minima of functionals depending on \(x\), \(u\), and \(\nabla {u}\) under the bounded slope condition. SIAM J. Control Optim. 60(3), 1347–1364 (2022)
Giusti, E.: Direct Methods in the Calculus of Variations. World Scientific, Singapore (2003)
Haar, A.: Über das Plateausche Problem. Math. Ann. 97(1), 124–158 (1927)
Hardt, R., Zhou, X.: An evolution problem for linear growth functionals. Commun. Partial Differ. Equ. 19(11 &12), 1879–1907 (1994)
Hartman, P., Nirenberg, L.: On spherical image maps whose Jacobians do not change sign. Am. J. Math. 115, 271–310 (1966)
Hartman, P., Stampacchia, G.: On some non-linear elliptic differential-functional equations. Acta Math. 115, 271–310 (1966)
Kinnunen, J., Lindqvist, P.: Pointwise behaviour of semicontinuous supersolutions to a quasilinear parabolic equation. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 185(3), 411–435 (2006)
Lichnewsky, A., Temam, R.: Pseudosolutions of the time-dependent minimal surface problem. J. Differ. Equ. 30(3), 340–364 (1978)
Marcellini, P.: A variational approach to parabolic equations under general \(p, q\)-growth conditions. Nonlinear Anal. 194, 111456–17 (2020)
Mariconda, C., Treu, G.: Existence and Lipschitz regularity for minima. Proc. Am. Math. Soc. 130(2), 395–404 (2002)
Mariconda, C., Treu, G.: Lipschitz regularity for minima without strict convexity of the Lagrangian. J. Differ. Equ. 243(2), 388–413 (2007)
Mariconda, C., Treu, G.: A Haar-Rado type theorem for minimizers in Sobolev spaces. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 17(4), 1133–1143 (2011)
Mingione, G., Rǎdulescu, V.: Recent developments in problems with nonstandard growth and nonuniform ellipticity. J. Math. Anal. Appl. 501(1), 125197–41 (2021)
Miranda, M.: Un teorema di esistenza e unicità per il problema dell’area minima in n variabili. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa 19(3), 233–249 (1965)
Rainer, R., Siltakoski, J., Stanin, T.: An evolutionary Haar-Rado theorem. Manuscr. Math. 168(1–2), 65–88 (2022)
Schätzler, L.: Existence of variational solutions for time dependent integrands via minimizing movements. Analysis (Berlin) 37(4), 199–222 (2017)
Stampacchia, G.: On some regular multiple integral problems in the calculus of variations. Commun. Pure Appl. Math. 16, 383–421 (1963)
Stanin, T.: Global continuity of variational solutions weakening the one-sided bounded slope condition. Forum Math. 33(5), 1237–1260 (2021)