Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương trình Lugiato–Lefever với độ d damping phi tuyến do hấp thụ hai photon
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của độ d damping phi tuyến lên phương trình Lugiato–Lefever $$\mathrm {i}\partial _t a = -(\mathrm {i}-\zeta ) a - da_{xx} -(1+\mathrm {i}\kappa )|a|^2a +\mathrm {i}f$$ trên mặt phẳng torus hoặc đường thẳng thực. Đối với trường hợp của torus, chúng tôi chỉ ra rằng với độ d damping phi tuyến nhỏ $$\kappa >0$$, các nghiệm ở trạng thái không đổi không gian tuần hoàn tồn tại trên các nhánh phân nhánh từ các nghiệm không đổi, trong khi tất cả các nghiệm không đổi không phải là hằng số $$2\pi$$ - định kỳ biến mất khi tham số d damping $$\kappa$$ vượt qua một giá trị tới hạn. Những kết quả này áp dụng cho cả trường hợp phân tán bình thường ($$d<0$$) và phân tán bất thường ($$d>0$$). Đối với trường hợp của đường thẳng thực, chúng tôi chứng minh bằng Định lý Hàm Ẩn rằng với độ d damping phi tuyến nhỏ $$\kappa >0$$ và điều chỉnh lớn $$\zeta \gg 1$$ cùng với lực lớn $$f\gg 1$$, các nghiệm đơn độc sáng, được định vị mạnh mẽ tồn tại trong trường hợp phân tán bất thường $$d>0$$. Những kết quả này đạt được bằng cách sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết phân nhánh và tiếp diễn, cũng như bằng cách chứng minh một kết quả hội tụ cho các nghiệm của phương trình Lugiato–Lefever phụ thuộc theo thời gian.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Chembo, Y.K., Yu, N.: Modal expansion approach to optical-frequency-comb generation with monolithic whispering-gallery-mode resonators. Phys. Rev. A 82, 033801 (2010)
Chembo, Y.K., Menyuk, C.R.: Spatiotemporal Lugiato–Lefever formalism for Kerr-comb generation in whispering-gallery-mode resonators. Phys. Rev. A 87, 053852 (2013)
Crandall, M.G., Rabinowitz, P.H.: Bifurcation from simple eigenvalues. J. Funct. Anal. 8, 321–340 (1971)
Delcey, L., Haragus, M.: Instabilities of periodic waves for the Lugiato–Lefever equation. Rev. Roum. Math. Pures Appl. 63(4), 377–399 (2018)
Delcey, L., Haragus, M.: Periodic waves of the Lugiato–Lefever equation at the onset of Turing instability. Philos. Trans. R. Soc. A 376(2117), 20170188, 21 (2018)
Diddams, S.A., Udem, T., Bergquist, J.C., Curtis, E.A., Drullinger, R.E., Hollberg, L., Itano, W.M., Lee, W.D., Oates, C.W., Vogel, K.R., Wineland, D.J., Reichert, J., Holzwarth, R.: An optical clock based on a single trapped 199 Hg+ ion. Science (New York, N.Y.) 24(13), 881–883 (1999)
Gärtner, J., Trocha, P., Mandel, R., Koos, C., Jahnke, T., Reichel, W.: Bandwidth and conversion efficiency analysis of dissipative Kerr soliton frequency combs based on bifurcation theory. Phys. Rev. A 100, 033819 (2019)
Godey, C.: A bifurcation analysis for the Lugiato–Lefever equation. Eur. Phys. J. D 71(5), 131 (2017)
Godey, C., Balakireva, I.V., Coillet, A., Chembo, Y.K.: Stability analysis of the spatiotemporal Lugiato–Lefever model for Kerr optical frequency combs in the anomalous and normal dispersion regimes. Phys. Rev. A 89, 063814 (2014)
Hakkaev, S., Stanislavova, M., Stefanov, A.G.: On the generation of stable Kerr frequency combs in the Lugiato–Lefever model of periodic optical waveguides. SIAM J. Appl. Math. 79(2), 477–505 (2019)
Hannes de, W.H., Dohnal, T., Rademacher, J.D.M., Uecker, H., Wetzel, D: pde2path2.9 - quickstart guide and reference card. Technical report, Institut für Mathematik, Universität Oldenburg. http://www.staff.uni-oldenburg.de/hannes.uecker/pde2path/tuts/qsrc.pdf (2020)
Hansson, T., Wabnitz, S.: Dynamics of microresonator frequency comb generation: models and stability. Nanophotonics 5(2), 231–243 (2016)
Herr, T., Brasch, V., Jost, J., Wang, C.Y., Kondratiev, N.M., Gorodetsky, M.L., Kippenberg, T.J.: Temporal solitons in optical microresonators. Nat. Photon. 8, 145–152 (2014)
Herr, T., Hartinger, K., Riemensberger, J., Wang, C.Y., Gavartin, E., Holzwarth, R., Gorodetsky, M.L., Kippenberg, T.J.: Universal formation dynamics and noise of Kerr-frequency combs in microresonators. Nat. Photon. 6, 480–487 (2012)
Hislop, P.D., Sigal, I.M. (1996). Introduction to spectral theory, volume 113 of Applied Mathematical Sciences. With Applications to Schrödinger Operators. Springer, New York
Jahnke, T., Mikl, M., Schnaubelt, R.: Strang splitting for a semilinear Schrödinger equation with damping and forcing. J. Math. Anal. Appl. 455(2), 1051–1071 (2017)
Kielhöfer, H. (2012). Bifurcation theory, volume 156 of Applied Mathematical Sciences, 2nd edn. An Introduction with Applications to Partial Differential Equations. Springer, New York
Lau, R.K.W., Michael R. E., L., Yoshitomo, O., Alexander L., G.: Effects of multiphoton absorption on parametric comb generation in silicon microresonators. Opt. Lett. 40(12), 2778–2781 (2015)
Lugiato, L.A., Lefever, R.: Spatial dissipative structures in passive optical systems. Phys. Rev. Lett. 58, 2209–2211 (1987)
Mandel, R.: Global secondary bifurcation, symmetry breaking and period-doubling. Topol. Methods Nonlinear Anal. 53(2), 779–800 (2019)
Mandel, R., Reichel, W.: A priori bounds and global bifurcation results for frequency combs modeled by the Lugiato–Lefever equation. SIAM J. Appl. Math. 77(1), 315–345 (2017)
Marin-Palomo, P., Kemal, J.N., Karpov, M., Kordts, A., Pfeifle, J., Pfeiffer, M.H.P., Trocha, P., Wolf, S., Brasch, V., Anderson, M.H., Rosenberger, R., Vijayan, K., Freude, W., Kippenberg, T.J., Koos, C.: Microresonator-based solitons for massively parallel coherent optical communications. Nature 546(7657), 274–279 (2017)
Miyaji, T., Ohnishi, I., Tsutsumi, Y.: Bifurcation analysis to the Lugiato–Lefever equation in one space dimension. Phys. D 239(23–24), 2066–2083 (2010)
Miyaji, T., Ohnishi, I., Tsutsumi, Y.: Stability of a stationary solution for the Lugiato–Lefever equation. Tohoku Math. J. (2) 63(4), 651–663 (2011)
Miyaji, T., Ohnishi, I., Tsutsumi, Y.: Erratum: stability of a stationary solution for the Lugiato–Lefever equation. Tohoku Math. J. (3) 72(3), 487–492 (2020)
Miyaji, T., Tsutsumi, Y.: Existence of global solutions and global attractor for the third order Lugiato–Lefever equation on \({\bf T}\). Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 34(7), 1707–1725 (2017)
Miyaji, T., Tsutsumi, Y.: Steady-state mode interactions of radially symmetric modes for the Lugiato–Lefever equation on a disk. Commun. Pure Appl. Anal. 17(4), 1633–1650 (2018)
Parra-Rivas, P., Gomila, D., Gelens, L., Knobloch, E.: Bifurcation structure of localized states in the Lugiato–Lefever equation with anomalous dispersion. Phys. Rev. E 97(4), 042204, 20 (2018)
Parra-Rivas, P., Gomila, D., Matias, M.A., Coen, S., Gelens, L.: Dynamics of localized and patterned structures in the Lugiato–Lefever equation determine the stability and shape of optical frequency combs. Phys. Rev. A 89, 043813 (2014)
Parra-Rivas, P., Knobloch, E., Gomila, D., Gelens, L.: Dark solitons in the Lugiato–Lefever equation with normal dispersion. Phys. Rev. A 93(6), 1–17 (2016)
Pfeifle, J., Brasch, V., Lauermann, M., Yu, Y., Wegner, D., Herr, T., Hartinger, K., Schindler, P., Li, J., Hillerkuss, D., Schmogrow, R., Weimann, C., Holzwarth, R., Freude, W., Leuthold, J., Kippenberg, T.J., Koos, C.: Coherent terabit communications with microresonator Kerr frequency combs. Nat. Photon. 8, 375–380 (2014)
Pfeifle, J., Coillet, A., Henriet, R., Saleh, K., Schindler, P., Weimann, C., Freude, W., Balakireva, I.V., Larger, L., Koos, C., Chembo, Y.K.: Optimally coherent Kerr combs generated with crystalline whispering gallery mode resonators for ultrahigh capacity fiber communications. Phys. Rev. Lett. 114(9), 1–5 (2015)
Rabinowitz, P.H.: Some global results for nonlinear eigenvalue problems. J. Funct. Anal. 7, 487–513 (1971)
Stanislavova, M., Stefanov, A.G.: Asymptotic stability for spectrally stable Lugiato–Lefever solitons in periodic waveguides. J. Math. Phys. 59(10), 101502, 12 (2018)
Suh, M.-G., Vahala, K.: Soliton microcomb range measurement. Science 887, 884–887 (2017)
Trocha, P., Karpov, M., Ganin, D., Pfeiffer, M.H.P., Kordts, A., Wolf, S., Krockenberger, J., Marin-Palomo, P., Weimann, C., Randel, S., Freude, W., Kippenberg, T.J., Koos, C.: Ultrafast optical ranging using microresonator soliton frequency combs. Science 359(6378), 887–891 (2018)
Udem, T., Holzwarth, R., Hänsch, T.W.: Optical frequency metrology. Nature 416(6877), 233–237 (2002)