Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Hệ Thống Toàn Đồ Kostant–Toda Trên Biến Thể Cờ Dương Tính
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu một số khía cạnh hình học và tổ hợp của nghiệm cho hệ thống toàn đồ Kostant–Toda (f-KT), khi dữ liệu ban đầu được xác định bởi một điểm tùy ý trên biến thể cờ hoàn toàn không âm (tnn) của $$SL_n(\mathbb{R})$$. Các dòng f-KT trên biến thể cờ tnn là hoàn chỉnh, và chúng tôi chỉ ra rằng sự tiệm cận của chúng hoàn toàn được xác định bởi phân hoạch tế bào của biến thể cờ tnn được đưa ra bởi Rietsch (Tính dương tuyệt đối và biến thể cờ thực. Luận án tiến sĩ, Viện Công nghệ Massachusetts, Cambridge, 1998). Các kết quả của chúng tôi đại diện cho những kết quả đầu tiên về sự tiệm cận của hệ thống f-KT (cũng như lưới f-KT); hơn nữa, các kết quả của chúng tôi không bị giới hạn ở dòng tổng quát, mà còn bao gồm các dòng không tổng quát. Chúng tôi định nghĩa dòng f-KT trên không gian trọng số thông qua bản đồ mô men, và chỉ ra rằng tập hợp đóng của mỗi dòng f-KT tạo thành một đa diện lồi thú vị mà chúng tôi gọi là đa diện khoảng thời gian Bruhat. Cụ thể, đa diện khoảng thời gian Bruhat cho dòng tổng quát là permutohedron của nhóm đối xứng $$\mathfrak{S}_n$$. Chúng tôi cũng chứng minh các kết quả tương tự cho hệ thống Toda đối xứng toàn phần, bằng cách ánh xạ các nghiệm f-KT của chúng tôi tới những nghiệm của hệ thống Toda đối xứng toàn phần. Trong phần phụ lục, chúng tôi chỉ ra rằng các đa diện khoảng thời gian Bruhat là các permutohedra tổng quát, theo nghĩa của Postnikov (Int. Math. Res. Not. IMRN (6):1026–1106, 2009).
Từ khóa
#Kostant–Toda #hệ thống toàn phần #biến thể cờ #đa diện lồi #permutohedron #nhóm đối xứngTài liệu tham khảo
Ardila F., Benedetti C., Doker J.: Matroid polytopes and their volumes. Discrete Comput. Geom. 43(4), 841–854 (2010)
Ardila, F., Rincon, F., Williams, L.: Positroids and non-crossing partitions. Trans. Am. Math. Soc. (2013, in press)
Atiyah M.F.: Convexity and commuting Hamiltonians. Bull. Lond. Math. Soc. 14(1), 1–15 (1982)
Adler M., vanMoerbeke, P.: Vertex operator solutions to the discrete KP-hierarchy. Commun. Math. Phys. 203(1), 185–210 (1999)
Björner, A., Brenti, F.: Combinatorics of Coxeter groups. In: Graduate Texts in Mathematics, vol. 231. Springer, New York (2005)
Bloch A.M., Gekhtman M.I.: Hamiltonian and gradient structures in the Toda flows. J. Geom. Phys. 27(3-4), 230–248 (1998)
Casian, L., Kodama, Y.: Blow-ups of the Toda lattices and their intersections with the Bruhat cells. In: The Legacy of the Inverse Scattering Transform in Applied Mathematics (South Hadley, MA, 2001). In: Contemporary Mathematics, vol. 301, pp. 283–310. American Mathematical Society, Providence (2002)
Chernyakov Y.B., Sharygin G.I., Sorin A.S.: Bruhat order in full symmetric Toda system. Commun. Math. Phys. 330, 367–399 (2014)
Deodhar V.V.: On some geometric aspects of Bruhat orderings. I. A finer decomposition of Bruhat cells. Invent. Math. 79(3), 499–511 (1985)
Deift P., Li L.C., Nanda T., Tomei C.: The Toda flow on a generic orbit is integrable. Commun. Pure Appl. Math. 39(2), 183–232 (1986)
Deift P., Nanda T., Tomei C.: Differential equations for the symmetric eigenvalue problem. SIAM J. Num. Anal. 20(2), 1–22 (1983)
Ercolani, N.M., Flaschka, H., Singer, S.: The geometry of the full Kostant–Toda lattice. Integrable systems (Luminy, 1991). In: Progress in Mathematics, vol. 115, pp. 181–225. Birkhäuser, Boston (1993)
Ehresmann C.: Sur la topologie de certains espaces homogènes. Ann. Math. (2) 35(2), 396–443 (1934)
Flaschka H., Haine L.: Variétés de drapeaux et réseaux de Toda. Math. Z. 208(4), 545–556 (1991)
Gel’fand I.M., Goresky R.M., MacPherson R.D., Serganova V.V.: Combinatorial geometries, convex polyhedra, and Schubert cells. Adv. Math. 63(3), 301–316 (1987)
Guillemin V., Sternberg S.: Convexity properties of the moment mapping. Invent. Math. 67(3), 491–513 (1982)
Gel’fand, I.M., Serganova, V.V.: Combinatorial geometries and the strata of a torus on homogeneous compact manifolds. Uspekhi Mat. Nauk 42(2(254)), 107–134, 287 (1987)
Humphreys J.E.: Reflection groups and Coxeter groups. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 29. Cambridge University Press, Cambridge (1990)
Kodama Y., McLaughlin K.T.-R.: Explicit integration of the full symmetric Toda hierarchy and the sorting property. Lett. Math. Phys. 37(1), 37–47 (1996)
Kodama, Y., Shipman, B.A.: The finite non-periodic Toda lattice: a geometric and topological viewpoint. Preprint arxiv:0805.1389 (2008)
Kodama Y., Williams L.K.: The Deodhar decomposition of the Grassmannian and the regularity of KP solitons. Adv. Math. 244, 979–1032 (2013)
Kodama Y., Ye J.: Iso-spectral deformations of general matrix and their reductions on Lie algebras. Commun. Math. Phys. 178(3), 765–788 (1996)
Lusztig G.: Total positivity in reductive groups. In: Lie Theory and Geometry. Progress in Mathematics, vol. 123, pp. 531–568. Birkhäuser, Boston (1994)
Lusztig G.: Total positivity in partial flag manifolds. Represent. Theory 2, 70–78 (1998)
Marsh, R.J., Rietsch, K.C.: Parametrizations of flag varieties. Represent. Theory 8, 212–242 (2004) (electronic)
Postnikov, A.: Total positivity, grassmannians, and networks. Preprint. Available at http://www-math.mit.edu/~apost/papers/tpgrass.pdf
Postnikov, A.: Permutohedra, associahedra, and beyond. Int. Math. Res. Not. IMRN (6), 1026–1106 (2009)
Rietsch, K.C.: Total positivity and real flag varieties. Ph.D. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge (1998)
Rietsch K.C.: Closure relations for totally nonnegative cells in G/P. Math. Res. Lett. 13(5-6), 775–786 (2006)
Shipman, B.A.: Nongeneric flows in the full Kostant–Toda lattice. In: Integrable Systems, Topology, and Physics (Tokyo, 2000). Contemporary Mathematics, vol. 309, pp. 219–249. American Mathematical Society, Providence (2002)
Symes, W.W.: The QR algorithm and scattering for the finite nonperiodic Toda lattice. Phys. D 4(2), 275–280 (1981/82)
Toda M.: Theory of Nonlinear Lattices, 2nd edn. In: Springer Series in Solid-State Sciences, vol. 20. Springer, Berlin (1989)
Tsukerman, E., Williams, L.: Bruhat interval polytopes. Preprint arXiv:1406.5202 (2014)