Các quan hệ Fay mà toán tử liên hợp elliptic thỏa mãn

Chúng tôi nhắc lại cách xây dựng bởi B. Enriquez của toán tử liên hợp elliptic Aτ, một chuỗi lũy thừa trong hai biến không giao hoán a, b được định nghĩa là một tích phân lặp của hàm Kronecker, và chuyển sự chú ý của chúng tôi đến một họ các quan hệ Fay mà Aτ thỏa mãn, xuất phát từ quan hệ Fay nổi tiếng gốc mà hàm Kronecker thỏa mãn. Các quan hệ Fay của Aτ đã được Broedel, Matthes và Schlotterer nghiên cứu và xác định cho đến các hạng mục hiệu chỉnh không rõ ràng phát sinh từ sự cần thiết phải quy chính tích phân không hội tụ. Trong bài viết này, chúng tôi làm việc theo mô-đun 2πi. Vì Aτ giảm xuống 1 mod 2πi, chúng tôi đặt $${A_\tau} = {\bf{A}}_\tau ^{1/2\pi i}$$ và nghiên cứu sự giảm $${{\bar A}_\tau}$$ của Aτ mod 2πi. Chúng tôi nhắc lại một cách xây dựng khác của Aτ qua ba bước, do Matthes, Lochak và tác giả: trước tiên, định nghĩa chuỗi sinh elliptic giảm $${{\bar E}_\tau}$$ mà xuất phát từ toán tử liên hợp Drinfel’d giảm $${\overline \Phi _{KZ}}$$ và các hệ số của nó sinh ra cùng một vành $${\bar R}$$ giống như các hệ số của $${{\bar A}_\tau}$$ ; sau đó, định nghĩa ψ là tự đẳng cấu của vành liên hợp tự do $$\bar R\langle \langle a,b\rangle \rangle $$ được định nghĩa bởi $$\psi (a) = {{\bar E}_\tau}$$ và $$\psi ([a,b]) = [a,b]$$ cuối cùng, cho thấy rằng toán tử liên hợp elliptic giảm $${{\bar A}_\tau}$$ bằng với $$\psi ({{ad(b)} \over {{e^{ad(b)}} - 1}}({e^a}))$$ . Sử dụng phương pháp xây dựng này và lý thuyết mould cùng với việc làm việc với các phiên bản Lie-like của chuỗi sinh và toán tử liên hợp elliptic, chúng tôi chứng minh các kết quả sau: thứ nhất, một mould thỏa mãn các quan hệ Fay nếu và chỉ nếu một mould gần gũi liên quan thỏa mãn các quan hệ “swap circ-neutrality” nổi tiếng định nghĩa đại số Lie Kashiwara—Vergne elliptic $${\mathfrak{krv}_{ell}}$$ thứ hai, chuỗi sinh elliptic giảm $${{\bar E}_\tau}$$ thỏa mãn một họ các quan hệ Fay với các hạng mục hiệu chỉnh cực kỳ đơn giản đến từ các hằng số nổi tiếng cần thiết để đảm bảo rằng toán tử liên hợp Drinfel’d thỏa mãn các quan hệ double shuffle; thứ ba, các hạng mục hiệu chỉnh cho các quan hệ Fay mà toán tử liên hợp elliptic giảm $${{\bar A}_\tau}$$ thỏa mãn có thể được suy diễn một cách rõ ràng từ những điều này.