Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Đặc trưng η của toán tử Atiyah–Patodi–Singer trên các đa tạp phẳng hữu hạn
Tóm tắt
Cho \( \mathcal{D} \) là toán tử biên được định nghĩa bởi Atiyah, Patodi và Singer, tác động lên các dạng mịn chẵn của một đa tạp Riemann hữu hạn có định hướng M. Tiếp nối nghiên cứu trước đó của chúng tôi, chúng tôi giải quyết vấn đề tính toán một cách rõ ràng đạo hàm η, η = η(M) cho bất kỳ đa tạp phẳng hữu hạn có định hướng nào M. Sau khi đưa ra biểu thức rõ ràng cho η(s) trong trường hợp nhóm holonomy chu kỳ, chúng tôi thu được một công thức tổ hợp giúp giảm bài toán tính toán xuống trường hợp chu kỳ. Chúng tôi minh họa phương pháp này bằng cách xác định η(0) cho một vài họ vô hạn, một số trong đó có các nhóm holonomy không abel. Đối với các nhóm chu kỳ có bậc nguyên tố lẻ p ≥ 7, η(s) có thể được biểu diễn như một bội của Lχ(s), một hàm L liên kết với một ký tự bậc hai mod p, trong khi η(0) là một bội nguyên (không bằng 0) của số lớp h−p của trường số \( \mathbb{Q(\sqrt{-p})} \). Trong trường hợp các nhóm metacyclic có bậc lẻ pq, với p, q là các số nguyên tố, chúng tôi chứng minh rằng η(0) là một bội hợp lý của h−p.
Từ khóa
#toán tử Atiyah–Patodi–Singer #đa tạp phẳng hữu hạn #đặc trưng η #nhóm holonomy #hàm LTài liệu tham khảo
Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M.: Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 77, 43–69 (1975)
Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M.: Spectral asymmetry and Riemannian geometry II, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 78, 405–432 (1975)
Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M.: Spectral asymmetry and Riemannian geometry III, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 79, 71–99 (1976)
Bechtluft-Sachs S.: The computation of η-invariants on manifolds with free circle action. J. Funct. Anal. 174(2), 251–263 (2000)
Berndt B., Evans R., Williams K.: Gauss and Jacobi sums, Canadian Math. Soc. Series, vol. 21. Wiley-Interscience, New York (1998)
CARAT web page. http://wwwb.math.rwth-aachen.de/carat/
Charlap L.: Compact flat Riemannian manifolds I. Ann. Math. 81, 15–30 (1965)
Charlap L.: Bieberbach Groups and Flat Manifolds. Springer Verlag, Universitext, Berlin (1988)
Cisneros-Molina J.L.: The η-invariant of twisted Dirac operators of S 3/Γ. Geom. Dedicata 84(1–3), 207–228 (2001)
Donnelly H.: Eta invariants for G-spaces. Indiana Univ. Math. J. 224, 161–170 (1976)
Gilkey P.B.: The Geometry of Spherical Space Form Groups, with an Appendix by A. Bahri and M. Bendersky. Series in Pure Mathematics, 7. World Scientific Publishing, Teaneck (1989)
Gilkey P.B., Miatello R.J., Podestá R.A.: The eta invariant and equivariant bordism of flat manifolds with cyclic holonomy group of odd prime order. Ann. Glob. Anal. Geom. 37, 275–306 (2010)
Goette S.: Equivariant η-invariants and η-forms. J. Reine Angew. Math. 526, 181–236 (2000)
Long D.D., Reid A.W.: On the geometric boundaries of hyperbolic 4-manifolds. Geom. Topol. 4, 171–178 (2000)
Long D.D., Reid A.W.: Constructing hyperbolic manifolds which bound geometrically. Math. Res. Lett. 8(4), 443–455 (2001)
Meyerhoff R., Ouyang M.: The η-invariants of cusped hyperbolic 3-manifolds. Can. Math. Bull. 40(2), 204–213 (1997)
Miatello R.J., Podestá R.A.: The spectrum of twisted Dirac operators on compact flat manifolds. Trans. Am. Math. Soc. 358(10), 4569–4603 (2006)
Miatello R.J., Podestá R.A.: Eta invariants and class numbers. Pure Appl. Math. Q. 5, 1–26 (2009)
Miatello, R.J., Podestá, R.A.: Spectral theory of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact flat manifolds. J. Geom. Anal., (2011). doi:10.1007/s12220-011-9227-7
Nimershiem B.E.: All flat three-manifolds appear as cusps of hyperbolic four manifolds. Topol. Appl. 90, 109–133 (1998)
Ouyang M.Q.: Geometric invariants for Seifert fibered 3-manifolds. Trans. Am. Math. Soc. 346(2), 641–659 (1994)
Ouyang M.Q.: On the eta-invariant of some hyperbolic 3-manifolds. Topol. Appl. 64(2), 149–164 (1995)
Reiner I.: Integral representations of cyclic groups of prime order. Proc. Am. Math. Soc. 8, 142–145 (1957)
Szczepański A.: Problems on Bieberbach groups and flat manifolds. Geom. Dedicata 120, 111–118 (2006)
Szczepański, A.: Eta invariants for flat manifolds. Ann. Glob. Anal. Geom. doi:10.1007/s10455-011-9274-0
Yoshida T.: The η-invariant of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 81(3), 473–514 (1985)