Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace

Ce mémoire a été résumé dans une note parue aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences, le 20 février 1933, T. 196 p. 527.

Les pages 59–63 de ma Thèse (Journ. de Math. 12, 1933) annoncent ce mémoire et en complètent l'introduction.

Voir Hydrodynamik (Leipzig, 1927) §7, p. 66. Acta mathematica T. 34. Arkiv för matematik; astronomi och fysik. Bd. 6, 1910. Nova acta reg. soc. scient. Upsaliensis Ser. IV, Vol. 4, 1917.

l. c. Voir Hydrodynamik (Leipzig, 1927) 2, p. 59–60.

l. c. Voir Hydrodynamik (Leipzig, 1927) 2, p 60–61. Je reviens sur ce sujet au § 20 du présent travail (p. 224).

Oseen, Hydrodynamik, § 6, équation (I).

Voir relations (5. 15), p. 240.

Voir p. 241.

Je me permets de citer le passage suivant de M. Oseen (Hydrodynamik): “A un autre point de vue encore il semble valoir la peine de soumettre à une étude attentive les singularités du mouvement d'un liquide visquex. S'il peut surgir des singularités, il nous faut manifestement distinguer deux especes de monvements d'un liquide visqueux les mouvements, réguliers, c'est-à-dire les mouvements sans singularité, et les mouvements irréguliers, c'est-à-dire les mouvements avec singularité. Or on distingue d'autre part en Hydraulique deux sortes de mouvements, les mouvements laminaires et les mouvements turbulents. On est dès lors tenté de présumer que les mouvements laminaires fournis par les expériences sont identiques aux mouvements réguliers théóriques et que les mouvements turbulents expérimentaux s'identifient aux mouvements irréguliers théoriques. Cette présomption répond-elle à la réalité? Senles des recherches ultéricures pourront en décider».

En vertn du théoréme d'existence du § 31 (p. 241) et du théorème du § 18 (p. 222).

Journal de Mathématiques, T. 13, 1934.

Les conditions à l'infini par lesquelles nous caractérisons celles des équations de Navier que nous nommons régulières diffèrent des conditions qu'emploie M. Oseen.

Thèse, Journal de Mathématiques 12, 1933; chaptitre IV p. 64–82. (On peut donner une variante intéressante au procédé que nous y employons en utilisant la notion d'état initial semirégulier qu'introduit le mémoire présent.)

On peut dans ce cas baser l'étude du problème sur la propriété que possède alors le maximum du tourbillon à un instant donné d'être une fonction décroissante du temps. (Voir: Comptes rendus de l'Académie des Sciences, T. 194; p., 1893; 30 mai 1932).—M. Wolibner a lui aussi fait cette remarque.

Voir: F. Riesz, Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. T. 69 (1910). Delsarte, Mémorial des Sciences mathématiques, fascicule 57, Les groupes de transformations linéaires dans l'espace de Hilbert.

r représente la distance des pointsx ety.

r′ représente la distance des pointsx ety′.

Ou forte.

Voir: Oseen: Hydrodynamik § 5; Acta mathematica T. 34.

Le cas oùT=+∞ n'est pas exelu.

Rappelons que cette longueur a été introduite an § 8 (p. 206), quand nous avons, défini le symbole $$\overline {U(x)}$$ .

Ils vaudront également pour les solutions régulières des équations de Navier.

En d'autres termes nous utilisons le théorème de Helly.

Cette suite partielle que nous choisissons est fonction de l'époquet 1 envisagéc.

Je n'ai pu établir de théorème d'unicité affirmant qu'à un état initial donné correspond une solution turbulente unique.

Rappelous que le symbole {B; C} nous sert à désigner la plus petite des quantitésB etC.