Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Homogen hóa ngẫu nhiên của các chức năng tích phân bị nhiễu loạn đơn lẻ
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu tác động tương đối của các bất định ngẫu nhiên quy mô nhỏ và các nhiễu loạn đơn lẻ trong độ đàn hồi phi tuyến. Cụ thể hơn, chúng tôi phân tích hành vi tiệm cận của các chức năng năng lượng $$F_\varepsilon (\omega )(u)=\int _A \Big (f\Big (\omega ,\frac{x}{\varepsilon }, Du\Big ) +\varepsilon ^2 |\Delta u|^2\Big ) \,\hbox {d}x,$$ trong đó $$\omega $$ là một tham số ngẫu nhiên và $$\varepsilon >0$$ biểu thị một quy mô chiều dài điển hình liên quan đến sự biến đổi của các thuộc tính đàn hồi của vật thể. Đối với f có tính dừng và ergodic, chúng tôi chỉ ra rằng khi $$\varepsilon \rightarrow 0$$, vật liệu không đồng nhất ngẫu nhiên được mô tả bởi $$F_\varepsilon (\omega )$$ hành xử (hầu như chắc chắn) giống như một vật liệu quyết định đồng nhất. Mật độ năng lượng tích trữ trong giới hạn được cung cấp theo một công thức ô tiệm cận trong đó điều biến Laplace xuất hiện một cách rõ ràng.
Từ khóa
#homogen hóa ngẫu nhiên #nhiễu loạn đơn lẻ #độ đàn hồi phi tuyến #chức năng năng lượng #vật liệu không đồng nhấtTài liệu tham khảo
Abddaimi, Y., Michaille, G., Licht, C.: Stochastic homogenization for an integral functional of a quasiconvex function with linear growth. Asymptot. Anal. 15(2), 183–202 (1997)
Akcoglu, M.A., Krengel, U.: Ergodic theorems for superadditive processes. J. Reine Angew. Math. 323, 53–67 (1981)
Attouch, H., Buttazzo, G., Michaille, G.: Variational Analysis in Sobolev and BV Spaces. Applications to PDEs and optimization. Second Edition. MOS-SIAM Series on Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia (2014)
Bensoussan, A., Lions, J.L., Papanicolaou, G.: Asymptotic Analysis for Periodic Structures. North-Holland, Amsterdam (1978)
Braides, A.: Homogenization of some almost periodic coercive functional. Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 9(1), 313–321 (1985)
Braides, A., Defranceschi, A.: Homogenization of Multiple Integrals, Volume 12 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York
Braides, A., Truskinovsky, L.: Construction of asymptotic theories by \(\Gamma \)-convergence. Contin. Mech. Thermodyn. 20(1), 21–62 (2008)
Braides, A., Zeppieri, C.I.: Multiscale analysis of a prototypical model for the interaction between microstructure and surface energy. Interfaces Free Bound. 11(1), 61–118 (2009)
Dal Maso, G.: An Introduction to \(\Gamma \)-convergence. Birkhäuser, Boston (1993)
Dal Maso, G., Modica, L.: Nonlinear stochastic homogenization. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 144, 347–389 (1986)
Dal Maso, G., Modica, L.: Nonlinear stochastic homogenization and ergodic theory. J. Reine Angew. Math. 368, 28–42 (1986)
Ekeland, I., Temam, R.: Convex Analysis and Variational Problems. Translated from the French. Corrected reprint of the 1976 English edition. Classics in Applied Mathematics, vol 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia (1999)
Francfort, G.A., Müller, S.: Combined effects of homogenization and singular perturbation in elasticity. J. Reine Angew. Math. 454, 1–35 (1994)
Geymonat, G., Müller, S., Triantafyllidis, N.: Homogenization of non-linearly elastic materials, microscopic bifurcation and macroscopic loss of rank-one convexity. Arch. Ration. Mech. Anal. 122(3), 231–290 (1993)
Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer, Berlin (2001)
Gloria, A.: Qualitative and Quantitative Results in Stochastic Homogenization. Thése d’Habilitation, Université Lille I (2012). https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00779306/document
Gloria, A., Neukamm, S.: Commutability of homogenization and linearization at identity in finite elasticity and applications. Ann. Inst. H. Poincar Anal. Non Linéaire 28(6), 941–964 (2011)
Krengel, U.: Ergodic Theorems, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6. Walter de Gruyter & Co., Berlin (1985)
Messaoudi, K., Michaille, G.: Stochastic homogenization of nonconvex integral functionals. RAIRO Modél. Math. Anal. Numér (3) 28, 329–356 (1991)
Müller, S.: Homogenization of nonconvex integral functionals and cellular elastic materials. Arch. Ration. Mech. Anal. 99, 189–212 (1987)