Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Ước lượng độ dài ổn định của các hình dạng giống ống
Tóm tắt
Được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong sinh học, chúng tôi trình bày một thuật toán để ước lượng độ dài của các hình dạng giống ống trong không gian Euclide ba chiều. Trong bước đầu tiên, chúng tôi kết hợp công thức ống của Weyl với các phương pháp hình học toàn phần để có được một biểu diễn tích phân của độ dài, mà chúng tôi xấp xỉ bằng một biến thể của Định lý Koksma–Hlawka. Trong bước thứ hai, chúng tôi sử dụng các công cụ từ hình học tính toán để giảm thiểu sự phụ thuộc vào những biến đổi nhỏ của hình dạng. Chúng tôi trình bày các thí nghiệm tính toán làm sáng tỏ sự ổn định và tốc độ hội tụ của thuật toán của chúng tôi.
Từ khóa
#ống giống hình dạng #ước lượng độ dài #không gian Euclidean ba chiều #công thức Weyl #phương pháp hình học toàn phần #Định lý Koksma–Hlawka #hình học tính toánTài liệu tham khảo
Aistleitner, C., Brauchart, J.S., Dick, J.: Point sets on the sphere \({\mathbb{S}}^{2}\) with small spherical cap discrepancy. Discrete Comput. Geom. 4, 990–1024 (2012)
Beck, J.: On the discrepancy of convex plane sets. Monatshefte Math. 105, 91–106 (1988)
Bendich, P., Edelsbrunner, H., Morozov, D., Patel, A.: Homology and robustness of level and interlevel sets. Homol. Homotopy Appl. 15, 51–72 (2013)
Blum, H.: A transformation for extracting new descriptors of shape. In: Wathen-Dunn, W. (ed.) Models for the Perception of Speech and Visual Form, pp. 362–380. MIT Press, Cambridge (1967)
Cohen-Steiner, D., Edelsbrunner, H.: Inequalities for the curvature of curves and surfaces. Found. Comput. Math. 7, 391–404 (2007)
Cohen-Steiner, D., Edelsbrunner, H., Harer, J.: Stability of persistence diagrams. Discrete Comput. Geom. 37, 103–120 (2007)
Cohen-Steiner, D., Edelsbrunner, H., Harer, J., Mileyko, Y.: Lipschitz functions have L p -stable persistence. Found. Comput. Math. 10, 127–139 (2010)
Cohen-Steiner, D., Morvan, J.-M.: Restricted Delaunay triangulations and normal cycles. In: Proc. 19th Ann. Sympos. Comput. Geom., pp. 312–321 (2003)
Cundy, H., Rollett, A.: Sphere and cylinder—Archimedes’ theorem. In: Mathematical Models, 172–173, edn. Tarquin, England (1989)
De Floriani, L., Spagnuolo, M. (eds.): Shape Analysis and Structuring. Springer, Berlin (2008)
Dick, J., Pillichshammer, F.: Digital Nets and Sequences. Cambridge University Press, Cambridge (2010)
Edelsbrunner, H., Harer, J.L.: Computational Topology. An Introduction. Am. Math. Soc., Providence (2010)
Edelsbrunner, H., Letscher, D., Zomorodian, A.J.: Topological persistence and simplification. Discrete Comput. Geom. 28, 511–533 (2002)
Gray, A.: Tubes. Addison-Wesley, Redwood City (1990)
Harman, G.: Variations on the Koksma–Hlawka inequality. In: Unif. Distrib. Theory, vol. 5, pp. 65–78 (2010)
Hlawka, E.: Funktionen von beschränkter Variation in der Theorie der Gleichverteilung. Ann. Mat. Pura Appl. 54, 325–333 (1961)
Iyer-Pascuzzi, A., Symonova, O., Mileyko, Y., Hao, Y., Belcher, H., Harer, J., Weitz, J.S., Benfey, P.: Imaging and analysis platforms for automatic phenotyping and classification of plant root systems. Plant Physiol. 152, 1148–1157 (2010)
Koksma, J.F.: Een algemeene stelling inuit de theorie der gelijkmatige verdeeling modulo 1. Mathematica 11, 7–11 (1942–1943)
Kuipers, L., Niederreiter, H.: Uniform Distribution of Sequences. Wiley, New York (1974)
Mandelbrot, B.: How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science 156, 636–638 (1967)
Morvan, J.-M.: Generalized Curvatures. Springer, Berlin (2008)
Niederreiter, H.: Methods for estimating discrepancy. In: Zaremba, S.K. (ed.) Applications of Number Theory to Numerical Analysis, pp. 203–236. Academic Press, New York (1972)
Niederreiter, H.: Point sets and sequences with small discrepancy. Monatshefte Math. 104, 273–337 (1987)
Schmidt, W.M.: Irregularities of distribution IX. Acta Arith. 27, 385–396 (1975)
Steiner, J.: Über parallele Flächen. In: Monatsber. Akad. Wiss. Berlin. pp. 114–118 (1840). Also Werke, vol. 2, pp. 171–178
Stute, W.: Convergence rates for the isotrope discrepancy. Ann. Probab. 105, 91–106 (1977)
Weyl, H.: On the volume of tubes. Am. J. Math. 61, 461–472 (1939)
Zaremba, S.K.: Good lattice points in the sense of Hlawka and Monte Carlo integration. Monatshefte Math. 72, 264–269 (1968)
Zheng, Y., Gu, S., Edelsbrunner, H., Tomasi, C., Benfey, P.: Detailed reconstruction of 3D plant root shape. In: Proc. 13th Internat. Conf. Comput. Vision, pp. 2026–2033 (2011)