Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải quyết các vấn đề định vị với dữ liệu tối thiểu
Tóm tắt
Hệ thống định vị toàn cầu và địa phương (LPS) sử dụng các hệ phương trình phi tuyến để tính toán tọa độ của các điểm chưa biết. Có nhiều phương pháp, chẳng hạn như kết quả của Sturmfels, cơ sở Groebner và phương pháp bình phương nhỏ nhất, để xử lý loại phương trình này. Chúng tôi giới thiệu hai phương pháp giải quyết vấn đề này với sự trợ giúp của các kỹ thuật ký hiệu dựa vào các giải pháp dạng kín cho tập hợp giải pháp của một hệ phương trình tuyến tính. Chúng tôi giả định rằng thiết bị thu nhận chỉ phát hiện hoặc chọn dữ liệu tối thiểu, tức là bốn vệ tinh trong hệ thống định vị toàn cầu (GPS) hoặc ba trạm trong LPS. Cả hai phương pháp đều tiến hành bằng cách tham số hóa đường thẳng nối hai điểm giải, sau đó giải một phương trình phi tuyến đơn biến, hoặc là bậc hai hoặc có bậc nhỏ hơn 6. Phương pháp đầu tiên sử dụng Đặc điểm nhận dạng Cramer Tổng quát, đây là một trình bày khác của nghịch đảo Moore-Penrose tổng quát, và kết thúc với một phương trình đơn biến bậc 6 cho GPS và một phương trình đơn biến bậc 4 cho LPS. Phương pháp thứ hai giải quyết hệ bằng cách xử lý theo cách hình học hơn, kết thúc với một phương trình bậc hai. Cách tiếp cận của chúng tôi bao phủ tất cả các trường hợp có thể với một số lượng hữu hạn các giải pháp, trong khi phương pháp của Bancroft không thể áp dụng khi bốn vệ tinh, lấy độ chênh lệch đồng hồ làm tọa độ thứ tư, và gốc nằm trong cùng một hyperplane của $$\mathbb{R}^{4}$$, và phương pháp của Grafarend và Shan thất bại khi bốn vệ tinh nằm trong cùng một mặt phẳng trong $$\mathbb{R}^{3}$$. Hai phương pháp được đề xuất chỉ thất bại khi vấn đề 4 điểm giả có vô số giải pháp.
Từ khóa
#định vị toàn cầu #hệ thống định vị địa phương #phương trình phi tuyến #giải pháp ký hiệu #phương trình bậc haiTài liệu tham khảo
Awange JL, Grafarend EW (2005) Solving algebraic computational problems in geodesy and geoinformatics. Springer, Berlin
Awange JL, Grafarend EW, Paláncz B, Zaletnyik P (2010) Algebraic geodesy and geoinformatics. Springer, Berlin
Bancroft S (1985) An Algebraic Solution of the GPS Equations. IEEE Trans Aerosp Electron Syst 21(7):56–59
Chafee J, Abel J (1991) Existence and uniqueness of GPS solutions. IEEE Trans Aerosp Electron Syst 27(6):952–956
Chafee J, Abel J (1994) On the exact solutions of pseudorange equations. IEEE Trans Aerosp Electron Syst 30(4):1021–1030
Diaz-Toca G, Gonzalez-Vega L, Lombardi H (2005) Generalizing Cramer’s rule: solving uniformly linear systems of equations. SIAM J Matrix Anal Appl 27(3):621–637
Grafarend EW, Shan J (1996) A closed-form solution of the nonlinear pseudo-ranging equations (GPS). Artif Satell Planet Geodesy 31(3):133–147
Grafarend EW, Shan J (2002) GPS Solutions: closed forms, critical and special configurations of P4P. GPS Solut 5(3):29–41
Kleusberg A (2003) Analytical GPS navigation solution. In: Grafarend EW, Krumm FW, Schwarze VS (eds) Geodesy-The Challenge of the 3rd Millennium. Springer, Berlin Heidelberg, p 93–96
Oszczak B (2014) GNSS positioning algorithms using methods of reference point indicators. Artif Satell 49(1):21–32
Oszczak B, Sitnik E (2013) The algorithm for determining the coordinates of a point in three-dimensional space by using the auxiliary point. Artif Satell 48(4):141–145
The Sage Developers (2015) Sage Mathematics Software (Version 6.6). http://www.sagemath.org
Tsimis E (1973) Critical configurations (determinantal loci) for range and range-difference satellite networks. Report no 191, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, OH