Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải Quyết Các Vấn Đề Kiểm Soát Tối Ưu Bằng Cách Khai Thác Cấu Trúc Hệ Thống Động Lực Học Bản Chất
Tóm tắt
Việc tính toán các giải pháp hiệu quả toàn cầu là một thách thức lớn trong kiểm soát tối ưu các hệ thống động lực học phi tuyến. Bài báo này đề xuất một phương pháp kết hợp tối ưu cục bộ và kỹ thuật lập kế hoạch chuyển động dựa trên việc khai thác các cấu trúc bản chất của hệ thống động lực học, chẳng hạn như đối xứng và mặt đa tạp bất biến. Trước khi thực hiện kiểm soát tối ưu, hệ thống động lực học được phân tích để tìm các thuộc tính cấu trúc có thể được sử dụng để tính toán các đoạn đường đi được lưu trữ trong thư viện lập kế hoạch chuyển động. Trong bối cảnh của các hệ thống cơ khí, các ứng viên lập kế hoạch chuyển động này, được gọi là các nguyên tố, được cung cấp bởi các trạng thái cân bằng tương đối do các đối xứng và chuyển động trên các mặt đa tạp ổn định hoặc không ổn định như các điểm cố định trong động lực học tự nhiên. Sự tồn tại của các trạng thái cân bằng tương đối có kiểm soát được nghiên cứu thông qua cơ chế Lagrangian và các kỹ thuật giảm đối xứng. Khung phương pháp được đề xuất có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán giá trị biên bằng cách thực hiện tìm kiếm trong không gian các chuỗi nguyên tố chuyển động được kết nối bằng các động tác tối ưu hóa. Chuỗi tối ưu có thể được sử dụng làm giả định đầu vào khả thi cho một quá trình tối ưu hóa sau đó. Phương pháp này được minh họa qua hai ví dụ số, gồm con lắc hình cầu đơn và con lắc hình cầu đôi, cho thấy lợi ích của nó so với các kỹ thuật tối ưu cục bộ tiêu chuẩn.
Từ khóa
#Kiểm soát tối ưu #hệ thống động lực học phi tuyến #lập kế hoạch chuyển động #đối xứng #mặt đa tạp bất biếnTài liệu tham khảo
Abraham, R., Marsden, J.E.: Foundations of Mechanics. Addison-Wesley, Redwood City (1987)
Ames, A.D., Sastry, S.: Hybrid Routhian reduction of Lagrangian hybrid systems. In: American Control Conference, 2006, June 2006. 6 pp.
Betts, J.T.: Survey of numerical methods for trajectory optimization. AIAA J. Guid. Control Dyn. 21(2), 193–207 (1998)
Binder, T., Blank, L., Bock, H.G., Bulirsch, R., Dahmen, W., Diehl, M., Kronseder, T., Marquardt, W., Schlöder, J.P., von Stryk, O.: Introduction to model based optimization of chemical processes on moving horizons. In: Grötschel, M., Krumke, S.O., Rambau, J. (eds.) Online Optimization of Large Scale Systems: State of the Art, pp. 295–340. Springer, Berlin (2001)
Bloch, A.M.: Nonholonomic Mechanics and Control. Springer, Berlin (2003)
Bloch, A.M., Leonard, N.E., Marsden, J.E.: Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems. I. The first matching theorem. IEEE Trans. Autom. Control 45(12), 2253–2270 (2000)
Bullo, F., Lewis, A.D.: Geometric Control of Mechanical Systems. Texts in Applied Mathematics, vol. 49. Springer, New York (2004)
Bullo, F., Lewis, A.: Reduction, linearization, and stability of relative equilibria for mechanical systems on Riemannian manifolds. Acta Appl. Math. 99, 53–95 (2007)
Chaturvedi, N., Lee, T., Leok, M., McClamroch, N.: Nonlinear dynamics of the 3D pendulum. J. Nonlinear Sci. 21, 3–32 (2011)
Choset, H., Lynch, K.M., Hutchinson, S., Kantor, G.A., Burgard, W., Kavraki, L.E., Thrun, S.: Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementations. MIT Press, Cambridge (2005)
Christensen, G.S., El-Hawary, E., Soliman, S.A.: Optimal Control Applications in Electric Power Systems. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, vol. 35. Plenum, New York (1987)
Conley, C.: Low energy transit orbits in the restricted three-body problem. SIAM J. Appl. Math. 16, 732–746 (1968)
Dellnitz, M., Froyland, G., Junge, O.: The algorithms behind GAIO—set oriented numerical methods for dynamical systems. In: Fiedler, B. (ed.) Ergodic Theory, Analysis, and Efficient Simulation of Dynamical Systems, pp. 145–174. Springer, Berlin (2001)
Dellnitz, M., Junge, O., Post, M., Thiere, B.: On target for Venus—set oriented computation of energy efficient low thrust trajectories. Celest. Mech. Dyn. Astron. 95, 357–370 (2006)
Dellnitz, M., Ober-Blöbaum, S., Post, M., Schütze, O., Thiere, B.: A multi-objective approach to the design of low thrust space trajectories using optimal control. Celest. Mech. Dyn. Astron. 105, 33–59 (2009). doi:10.1007/s10569-009-9229-y
Ehrgott, M.: Multicriteria Optimization, 2nd edn. Springer, Berlin (2005)
Flaßkamp, K., Ober-Blöbaum, S.: Energy efficient control for mechanical systems based on inherent dynamical structures. In: American Control Conference (ACC), June 2012, Montréal, Canada, pp. 2609–2614 (2012)
Flaßkamp, K., Ober-Blöbaum, S., Kobilarov, M.: Solving optimal control problems by using inherent dynamical properties. PAMM 10(1), 577–578 (2010)
Frazzoli, E., Dahleh, M.A., Feron, E.: Maneuver-based motion planning for nonlinear systems with symmetries. IEEE Trans. Robot. 21(6), 1077–1091 (2005)
Froyland, G., Padberg, K.: Almost-invariant sets and invariant manifolds—connecting probabilistic and geometric descriptions of coherent structures in flows. Physica D 238(16), 1507–1523 (2009)
Gerdts, M.: Solving mixed-integer optimal control problems by branch & bound: a case study from automobile test-driving with gear shift. Optim. Control Appl. Methods 26(1), 1–18 (2005)
Gill, P.E., Jay, L.O., Leonard, M.W., Petzold, L.R., Sharma, V.: An SQP method for the optimal control of large-scale dynamical systems. J. Comput. Appl. Math. 120, 197–213 (2000)
Gómez, G., Koon, W.S., Lo, M.W., Marsden, J.E., Masdemont, J., Ross, S.D.: Connecting orbits and invariant manifolds in the spatial three-body problem. Nonlinearity 17, 1571–1606 (2004)
Griewank, A., Walther, A.: Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, 2nd edn. SIAM, Philadelphia (2008)
Guckenheimer, J., Holmes, P.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 42. Springer, Berlin (1983)
Haller, G.: Distinguished material surfaces and coherent structures in 3d fluid flows. Physica D 149, 248–277 (2001)
Haller, G., Yuan, G.: Lagrangian coherent structures and mixing in two-dimensional turbulence. Physica D 147, 352–370 (2000)
Katok, A., Hasselblatt, B.: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge University Press, Cambridge (1995)
Kobilarov, M.: Discrete geometric motion control of autonomous vehicles. PhD thesis, University of Southern California, USA (2008)
Kobilarov, M.: Cross-entropy randomized motion planning. In: Proceedings of Robotics: Science and Systems, Los Angeles, CA, USA, June 2011
Kobilarov, M., Marsden, J.E.: Discrete geometric optimal control on Lie groups. IEEE Trans. Robot. 27(4), 641–655 (2011)
Kobilarov, M., Marsden, J.E., Sukhatme, G.S.: Geometric discretization of nonholonomic systems with symmetries. Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. S 3(1), 61–84 (2010)
Koon, W.S., Lo, M.W., Marsden, J.E., Ross, S.D.: Shoot the Moon. Spacefl. Mech. 105(2), 1017–1030 (2000)
Koon, W.S., Lo, M.W., Marsden, J.E., Ross, S.D.: Low energy transfer to the Moon. Celest. Mech. Dyn. Astron. 81(1–2), 63–73 (2001)
Krauskopf, B., Osinga, H.M., Doedel, E.J., Henderson, M.E., Guckenheimer, J., Vladimirsky, A., Dellnitz, M., Junge, O.: A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields. Int. J. Bifurc. Chaos Appl. Sci. Eng. 15(3), 763–791 (2005)
LaValle, S.M.: Planning Algorithms. Cambridge University Press, Cambridge (2006)
Leyendecker, S., Ober-Blöbaum, S., Marsden, J.E., Ortiz, M.: Discrete mechanics and optimal control for constrained systems. In: Optimal Control, Applications and Methods, 2009
Marsden, J.E.: Lectures on Mechanics. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 174. Cambridge University Press, Cambridge (1993)
Marsden, J.E.: Geometric Mechanics, Stability, and Control, pp. 265–291. Springer, New York (1994)
Marsden, J.E., Ratiu, T.S.: Introduction to Mechanics and Symmetry, 2nd edn. Text in Applied Mathematics, vol. 17. Springer, Berlin (1999)
Marsden, J.E., Scheurle, J.: Lagrangian reduction and the double spherical pendulum. Z. Angew. Math. Phys. 44 (1993)
Marsden, J.E., West, M.: Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numer. 10, 357–514 (2001)
Marsden, J.E., Patrick, G.W., Shkoller, S.: Multisymplectic geometry, variational integrators, and nonlinear PDEs. Commun. Math. Phys. 199, 351–395 (1998)
Marsden, J.E., Ratiu, T.S., Scheurle, J.: Reduction theory and the Lagrange–Routh equations. J. Math. Phys. 41, 3379–3429 (2000)
McGehee, R.: Some homoclinic orbits for the restricted three-body problem. PhD thesis, University of Wisconsin (1969)
Naldi, R., Marconi, L.: Optimal transition maneuvers for a class of V/STOL aircraft. Automatica 47(5), 870–879 (2011)
Neumaier, A.: Complete search in continuous global optimization and constraint satisfaction. Acta Numer. 13, 271–369 (2004)
Ober-Blöbaum, S., Walther, A.: Computation of derivatives for structure preserving optimal control using automatic differentiation. PAMM 10(1), 585–586 (2010)
Ober-Blöbaum, S., Junge, O., Marsden, J.E.: Discrete mechanics and optimal control: an analysis. Control Optim. Calc. Var. 17(2), 322–352 (2011)
Osinga, H.M., Rokni Lamooki, G.R., Townley, S.: Numerical approximations of strong (un)stable manifolds. Dyn. Syst. 19(3), 195–215 (2004)
Roberts, M., Wulff, C., Lamb, J.S.W.: Hamiltonian systems near relative equilibria. J. Differ. Equ. 179(2), 562–604 (2002)
Serban, R., Koon, W.S., Lo, M.W., Marsden, J.E., Petzold, L.R., Ross, S.D., Wilson, R.S.: Halo orbit mission correction maneuvers using optimal control. Automatica 38, 571–583 (2002)
Simo, J.C., Lewis, D., Marsden, J.E.: Stability of relative equilibria. Part I: the reduced energy-momentum method. Arch. Ration. Mech. Anal. 115, 15–59 (1991)
Sussmann, H.J., Willems, J.C.: 300 years of optimal control: from the Brachystochrone to the maximum principle. IEEE Control Syst. 17(3), 32–44 (1997)
Wulff, C., Schilder, F.: Numerical bifurcation of Hamiltonian relative periodic orbits. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 8(3), 931–966 (2009)
Zhigljavsky, A., Zilinskas, A.: Stochastic Global Optimization. Springer Optimization and Its Applications. Springer, Berlin (2008)