Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các nghiệm của phương trình Yamabe qua phương pháp giảm chiều Lyapunov–Schmidt
Tóm tắt
Cho bất kỳ một đa tạp Riemann đóng (M, g), chúng tôi sử dụng phương pháp giảm chiều hữu hạn Lyapunov–Schmidt và lý thuyết Morse cổ điển cùng với lý thuyết Lusternick–Schnirelmann để chứng minh các kết quả đa nghiệm cho các nghiệm dương của phương trình Yamabe loại dưới ngưỡng trên (M, g). Nếu (N, h) là một đa tạp Riemann đóng với độ cong vô hướng dương không đổi, chúng tôi thu được các kết quả đa nghiệm cho phương trình Yamabe trên sản phẩm Riemann $(M \times N , g + \varepsilon ^2 h)$, với $\,\varepsilon >0\,$ nhỏ. Ví dụ, nếu M là một bề mặt Riemann đóng có giống loại $\,\mathbf{g}\,$ và $(N,h) = (S^2 , g_0)$ là hình cầu 2 chiều tròn, chúng tôi chứng minh rằng với $\,\varepsilon >0\,$ đủ nhỏ và một phép metric tổng quát g trên M, phương trình Yamabe trên $(M\times S^2 , g + \varepsilon ^2 g_0)$ có ít nhất $\,2 + 2 \mathbf{g}\,$ nghiệm.
Từ khóa
#Yamabe equation #Riemannian manifold #Lyapunov–Schmidt reduction #Morse theory #Lusternick–Schnirelmann theoryTài liệu tham khảo
Akutagawa, K., Florit, L., Petean, J.: On Yamabe constants of Riemannian products. Commun. Anal. Geom. 15, 947–969 (2007)
Aubin, T.: Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire. J. Math. Pures Appl. 55, 269–296 (1976)
Bahri, A., Coron, J.M.: On a nonlinear elliptic equation involving the critical Sobolev exponent: the effect on the topology of the domain. Commun. Pure. Appl. Math. 41, 253–294 (1988)
Bettiol, R., Piccione, P.: Multiplicity of solutions to the Yamabe problem on collapsing Riemannian submersions. Pac. J. Math. 266, 1–21 (2013)
Brendle, S.: Blow-up phenomena for the Yamabe equation. J. Am. Math. Soc. 21, 951–979 (2008)
Brendle, S., Marques, F.C.: Blow-up phenomena for the Yamabe equation II. J. Differ. Geom. 81(2), 225–250 (2009)
De Lima, L.L., Piccione, P., Zedda, M.: A note on the uniqueness of solutions for the Yamabe problem. Proc. Am. Math. Soc. 140, 4351–4357 (2012)
De Lima, L.L., Piccione, P., Zedda, M.: On bifurcation of solutions of the Yamabe problem in product manifolds. Ann. Inst. Henri Poincaré C 29, 261–277 (2012)
Deng, S., Khemiri, Z., Mahmoudi, F.: On spike solutions for a singularly preturbed problem in a compact Riemannian manifold. Commun. Pure Appl. Anal. 17, 2063–2084 (2018)
Floer, A., Weinstein, A.: Nonspreading wave packets for the cubic Schrodinger equation with a bounded potential. J. Funct. Anal. 69, 397–408 (1986)
Gidas, B., Ni, W.-M., Nirenberg, L.: Symmetry of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Equations in \({ R}^n\). Mathematical Analysis and Applications, Advanced Mathematical Supplemented Studies 7A, pp. 369–402. Academic Press, New York (1981)
Henry, G., Petean, J.: Isoparametric hypersurfaces and metrics of constant scalar curvature. Asian J. Math. 18, 53–67 (2014)
Jin, Q., Li, Y.Y., Xu, H.: Symmetry and asymmetry: the method of moving spheres. Adv. Differ. Equ. 13, 601–640 (2008)
Kobayashi, O.: Scalar curvature of a metric with unit volume. Math. Ann. 279, 253–265 (1987)
Kwong, M.K.: Uniqueness of positive solutions of \(\Delta u -u + u^p =0\) in \({ R}^n\). Arch. Rational. Mech. Anal. 105, 243–266 (1989)
Khuri, M.A., Marques, F.C., Schoen, R.M.: A compactness theorem for the Yamabe Problem. J. Differ. Geomet. 81, 143–196 (2009)
Li, Y.Y., Nirenberg, L.: The Dirichlet problem for singularly perturbed elliptic equations. Commun. Pure Appl. Math. 36, 437–477 (1983)
Micheletti, A.M., Pistoia, A.: The role of the scalar curvature in a nonlinear elliptic problem on Riemannian manifolds. Calc. Variations PDE 34, 233–265 (2009)
Micheletti, A.M., Pistoia, A.: Generic properties of critical points of the scalar curvature for a Riemannian manifold. Proc. Am. Math. Soc. 138, 3277–3284 (2010)
Obata, M.: The conjectures on conformal transformations for a conformally invariant scalar equation. J. Diff. Geom. 6, 247–258 (1971)
Petean, J.: Metrics of constant scalar curvature conformal to Riemannian products. Proc. Am. Math. Soc. 138, 2897 (2010)
Petean, J.: Multiplicity results for the Yamabe equation by Lusternik-Schnirelmann Theory. J. Funct. Anal. 276, 1788–1805 (2019)
Pollack, D.: Nonuniqueness and high energy solutions for a conformally invariant scalar equation. Commun. Anal. Geom. 1, 347–414 (1993)
Rey, C., Ruiz, J.M.: Multipeak solutions for the Yamabe equation. J. Geom. Anal. (2019). https://doi.org/10.1007/s12220-019-00258-4
Schoen, R.: Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature. J. Differ. Geom. 20, 479–495 (1984)
Schoen, R.: Variational Theory for the Total Scalar Curvature Functional for Riemannian Metrics and Related Topics in the Calculus of Variations. Lectures Notes in Mathematics, vol. 1365, pp. 120–154. Springer, Berlin (1989)
Trudinger, N.: Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 22, 265–274 (1968)
Wei, J., Winter, M.: Mathematics Aspects of Pattern Formations in Biological System. AMS 189. Springer, Berlin (2014)
Yamabe, H.: On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Osaka Math. J. 12, 21–37 (1960)