Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sóng trong chất lỏng, Steklov và các góc: Phân tích tiệm cận của các giá trị riêng trong hiện tượng sóng động
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi phát triển một cách tiếp cận để thu được các tiệm cận phổ sắc nhọn cho các bài toán loại Steklov trên các miền phẳng có góc. Trọng tâm chính của chúng tôi là bài toán sóng trong chất lỏng hai chiều, đây là một bài toán biên Steklov—Neumann hỗn hợp mô tả sự dao động thẳng đứng nhỏ của một chất lỏng lý tưởng trong một bể chứa hoặc trong một kênh có tiết diện đều. Chúng tôi chứng minh một công thức tiệm cận bậc hai cho các giá trị riêng của hiện tượng sóng. Cụ thể, điều này xác nhận một giả thuyết được đưa ra bởi Fox và Kuttler vào năm 1983. Chúng tôi cũng thu được các tiệm cận giá trị riêng tương tự cho các bài toán hỗn hợp loại Steklov liên quan khác và thảo luận về ứng dụng của chúng trong việc nghiên cứu tiệm cận phổ sắc Steklov trên các đa giác.
Từ khóa
#Steklov #sóng trong chất lỏng #tiệm cận phổ sắc #giá trị riêng #bài toán biên hỗn hợp #đa giácTài liệu tham khảo
M. S. Agranovich, On a mixed Poincare-Steklov type spectral problem in a Lipschitz domain, Russ. J. Math. Phys. 13 (2006), 281–290.
G. Alker, The scattering of short waves by a cylinder, J. Fluid Mech. 82 (1977), 673–686.
R. Bañuelos and T. Kulczycki, The Cauchy process and the Steklov problem, J. Funct. Anal. 211 (2004), 355–423.
R. Bañuelos, T. Kulczycki, I. Polterovich and B. Siudeja, Eigenvalue inequalities for mixed Steklov problems, in Operator Theory and its Applications, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, pp. 19–34.
R. Brown, The mixed problem for Laplace’s equation in a class of Lipschitz domains, Comm. Partial Differential Equations 19 (1994), 1217–1233.
L. Buhovski, Private communication, 2017.
A. M. J. Davis, Two-dimensional oscillations in a a canal of arbitrary cross-section, Proc. Cambridge Phil. Soc. 61 (1965), 827–846.
A. M. J. Davis, Short surface waves in a canal; dependence of frequency on the curvatures and their derivatives, Quart. J. Mech. Appl. Math. 27 (1974), 523–535.
A. M. J. Davis and P. D. Weidman, Asymptotic estimates for two-dimensional sloshing modes, Phys. Fluids 12 (2000), 971–978.
U. T. Ehrenmark, Far field asymptotics of the two-dimensional linearised sloping beach problem, SIAM J. Appl. Math. 47 (1987), 965–981.
D. W. Fox and J. R. Kuttler, Sloshing frequencies, Z. Angew. Math. Phys. 34 (1983), 668–696.
D. Fischer, Proving that an orthonormal system close to a basis is also a basis, https://math.stackexchange.com/q/1365967.
A. Girouard, J. Lagacé, I. Polterovich and A. Savo, The Steklov spectrum of cuboids, Mathematika, 65 (2019), 272–310.
A. Girouard and I. Polterovich, The Steklov eigenvalue problem: some open questions, CMS Notes 48 (2016), 16–17.
A. Girouard and I. Polterovich, Spectral geometry of the Steklov problem, J. Spectr. Theory 7(2) (2017), 321–359.
A. G. Greenhill, Wave motion in hydrodynamics, Amer. J. Math. 9 (1887), 62–112.
P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston, MA, 1985.
E. T. Hanson, The theory of ship waves, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 111 (1926), 491–529.
A. Hassannezhad and A. Laptev, Eigenvalue bounds of mixed Steklov problems, Commun. Contemp. Math. 22 (2020), Article no. 1950008.
F. Hecht, New development in FreeFem+ +, J. Numer. Math. 20 (2012), 251–265.
R. A. Ibrahim, Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
V. Ivrii, Spectral asymptotics for Dirichlet to Neumann operator in the domains with edges, in Microlocal Analysis, Sharp Spectral Asymptotics and Applications V, Springer, Cham, 2019, pp. 513–539.
R. Kashaev, Private communication, 2016.
R. Kashaev, V. Mangazeev and Yu. Stroganov, Star-square and tetrahedron equations in the Baxter—Bazhanov model, Int. J. Mod. Phys. A 8 (1993), 1399–1409.
J. Kazdan, Perturbation of complete orthonormal sets and eigenfunction expansions, Proc. Amer. Math. Soc. 27 (1971), 506–510.
V. A. Kondrat’ev, Boundary value problems for elliptic equations in domains with conical or angular points, Tr. Mosk. Mat. Obs. 16 (1967), 209–292.
N. D. Kopachevsky and S. G. Krein, Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics, Birkhäuser, Basel, 2001.
V. Kozlov, N. Kuznetsov and O. Motygin, On the two-dimensional sloshing problem, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 460 (2004), 2587–2603.
S. Krymski, M. Levitin, L. Parnovski, I. Polterovich and D. A. Sher, Inverse Steklov spectral problem for curvilinear polygons, Int. Math. Res. Not. 2021 (2021), 1–37.
P. Kuchment and L. Kunyansky, Differential operators on graphs and photonic crystals, Adv. Comput. Math. 16 (2002), 263–290.
N. Kuznetsov, T. Kulczycki, M. Kwasnicki, A. Nazarov, S. Poborchi, I. Polterovich and B. Siudeja, The legacy of Vladimir Andreevich Steklov, Notices Amer. Math. Soc. 61 (2014), 9–22.
N. Kuznetsov, V. Maz’ya and B. Vainberg, Linear Water Waves, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
H. Lamb, Hydrodynamics, 1st ed., Cambridge, 1879; 6th ed., 1932; Reprinted by Dover, New York, 1945.
M. Levitin, L. Parnovski, I. Polterovich and D. A. Sher, Sloshing, Steklov and corners: Asymptotics of Steklov eigenvalues for curvilinear polygons, arXiv:1908.06455 [math.SP].
H. Lewy, Water waves on sloping beaches, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 737–775.
M. A. Naimark, Linear Differential Operators, Dover, New York, 1967–1968.
K.-M. Perfekt and M. Putinar, Spectral bounds for the Neumann—Poincaré operator on planar domains with corners, J. Anal. Math. 124 (2014), 39–57.
A. S. Peters, The effect of a floating mat on water waves, Comm. Pure Appl. Math. 3 (1950), 319–354.
L. Rondi, Continuity properties of Neumann-to-Dirichlet maps with respect to the H-convergence of the coefficient matrices, Inverse Problems 31 (2015), Article no. 045002.
L. Sandgren, A vibration problem, Medd. Lunds Univ. Math. Sem. 13 (1955), 1–84.
J. J. Stoker, Surface waves in water of variable depth, Quart. Appl. Math. 5 (1947), 1–54.
F. Ursell, Short surface waves in a canal: dependence of frequency on curvature, J. Fluid Mech. 63 (1974), 177–181.