Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Quỹ Đạo Homoclinic Saddle-Focus Shilnikov từ Tính toán: Các Kích thước Cao hơn
Tóm tắt
Trong một bài báo trước đây, chúng tôi đã nghiên cứu các hệ thống tự trị tham số và đưa ra một tiêu chuẩn có thể tính toán được để một quỹ đạo gần đúng nối kết các điểm cân bằng hyperbolic được bóng bởi một quỹ đạo kết nối thực sự. Tiêu chuẩn này đã được sử dụng để cung cấp các ví dụ được xác minh một cách nghiêm ngặt về các quỹ đạo homoclinic saddle-focus Shilnikov trong ba chiều. Điều này bao gồm việc xác minh một điều kiện về giá trị riêng của phép tuyến tính hóa tại điểm cân bằng. Trong các chiều lớn hơn ba, có ba điều kiện bổ sung cần phải được thiết lập: vị trí tổng quát, tiếp xúc tiệm cận và điều kiện xuyên tính. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn có thể tính toán để xác minh ba điều kiện này. Một ví dụ trong bốn chiều, trong đó các phép toán nghiêm ngặt được thực hiện chi tiết, được đưa ra.
Từ khóa
#quỹ đạo homoclinic #saddle-focus Shilnikov #hệ thống tự trị #tiêu chuẩn có thể tính toán #giá trị riêng #vị trí tổng quát #tiếp xúc tiệm cận #điều kiện xuyên tínhTài liệu tham khảo
Ambrosi, D., Arioli, G., Koch, H.: A homoclinic solution for excitation waves on a contractile substratum. SIAM. J. Appl. Dyn. Sys. 11, 1533–1542 (2012)
Battelli, F., Palmer, K.J.: A remark about Sil’nikov saddle-focus homoclinic orbits. Comm. Pure Appl. Anal. 10, 817–830 (2011)
Belykh, V.N., Pankratova, E.V.: Shilnikov chaos in oscillators with Huygens coupling. Intern. J. Bif. Chaos 24, 144007 (2014)
Beyn, W.-J.: The numerical computation of connecting orbits in dynamical systems. IMA J. Numer. Anal. 10, 379–405 (1990)
Boisvert, J.J., Muir, P.H., Spiteri, R.J.: BVP\_SOLVER-2. http://cs.stmarys.ca/~muir/BVP_SOLVER_Webpage.shtml (2012)
Capiński, M.J., Waisieczko-Zajac, A.: Computer-assisted proof of Shil’nikov homoclinics: with application to the Lorenz-84 model. SIAM. J. Appl. Dyn. Sys. 16, 1453–1473 (2017)
Coomes, B.A., Koçak, H., Palmer, K.J.: Shadowing orbits of ordinary differential equations. J. Comp. Appl. Math. 52, 35–43 (1994)
Coomes, B.A., Koçak, H., Palmer, K.J.: A computable criterion for the existence of connecting orbits in autonomous dynamics. J. Dyn. Diff. Equ. 28, 1081–1114 (2016)
Deng, B.: On Šilnikov’s homoclinic-saddle-focus theorem. J. Diff. Equ. 102, 305–329 (1993)
Glendinning, P., Sparrow, C.: \(T\)-points: a codimension two heteroclinic bifurcation. J. Stat. Phys. 43, 479–488 (1986)
Knobloch, J., Lamb, J., Webster, K.: Shift dynamics near non-elementary T-points with real eigenvalues. J. Differ. Eqns. Appl. 24, 609–654 (2018)
Kokubu, H.: A construction of three-dimensional vector fields which have a codimension two heteroclinic loop at Glendinning-Sparrow \(T\)-point. Z. Angew. Math. Phys. 44, 510–536 (1993)
Šilnikov, L.P.: A case of the existence of a denumerable set of periodic motions, Soviet math. Doklady 6, 163–166 (1965)
Sil’nikov, L.P.: The existence of a denumerable set of periodic motions in four-dimensional space in an extended neighborhood of a saddle-focus, Soviet Math. Doklady 8, 54–57 (1967a)
Sil’nikov, L.P.: The existence of a countable set of periodic motions in the neighborhood of a homoclinic curve. Soviet Math. Doklady 8, 102–106 (1967b)
Šilnikov, L.P.: A contribution to the problem of the structure of an extended neighborhood of a rough equilibrium state of saddle-focus type. Math. USSR Sbornik 10, 91–102 (1970)
Shilnikov, L.P., Shilnikov, A.L., Turaev, D.V., Chua, L.O.: Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part I. World Scientific, Singapore (1998)
Shilnikov, L.P., Shilnikov, A.L., Turaev, D.V., Chua, L.O.: Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part II. World Scientific, Singapore (2001)
Symm, H.J., Wilkinson, J.H.: Realistic error bounds for a simple eigenvalue and its associated eigenvector. Numerische Mathematik 35, 113–126 (1980)
Vano, J.A., Wildenberg, J.C., Anderson, M.B., Noel, J.K., Sprott, J.C.: Chaos in low-dimensional Lotka-Volterra models of competition. Nonlinearity 19, 2391–2404 (2006)
Wang, R., Xiao, D.: Bifurcations and chaotic dynamics in a 4-dimensional competitive Lotka-Volterra system. Nonlinear Dyn. 59, 411–422 (2010)
Yamamoto, T.: Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. Numerische Mathematik 34, 189–199 (1980)
Yamamoto, T.: Error bounds for computed eigenvalues and eigenvectors. II. Numerische Mathematik 40, 201–206 (1982)