Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Đạo hàm hình dạng của các toán tử tích phân biên trong tán xạ điện từ. Phần II: Ứng dụng cho tán xạ bởi một chướng ngại vật dielectrics đồng nhất
Tóm tắt
Chúng tôi phát triển phân tích đạo hàm hình dạng của các nghiệm cho bài toán tán xạ sóng điện từ đồng bộ theo thời gian bởi một chướng ngại vật có khả năng thấm. Vì các phương trình tích phân biên là công cụ cổ điển để giải quyết các vấn đề tán xạ điện từ, chúng tôi nghiên cứu các thuộc tính trơn của các toán tử tích phân biên điện từ chuẩn. Các toán tử này thường được giới hạn trong không gian các trường vector tiếp tuyến có tính chất điều hòa hỗn hợp $${\mathsf T \mathsf H^{-\frac{1}{2}}({\rm div}_{\Gamma},\Gamma)}$$. Sử dụng phân rã Helmholtz, chúng tôi có thể căn cứ phân tích của mình vào việc nghiên cứu các toán tử tích phân vi phân giả trong các không gian Sobolev chuẩn, nhưng sau đó chúng tôi phải nghiên cứu tính khả vi Gâteaux của các toán tử vi phân bề mặt. Chúng tôi chứng minh rằng các toán tử tích phân biên điện từ có thể vi phân vô hạn mà không làm mất tính điều hòa. Chúng tôi cũng đưa ra một đặc trưng của đạo hàm hình dạng đầu tiên của nghiệm cho bài toán tán xạ dielectrics như một nghiệm của một bài toán tán xạ điện từ mới.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Buffa A., Ciarlet P. Jr: On traces for functional spaces related to Maxwell’s equations. I. An integration by parts formula in Lipschitz polyhedra. Math. Methods Appl. Sci. 24, 9–30 (2001)
Buffa A., Ciarlet P. Jr: On traces for functional spaces related to Maxwell’s equations. II. Hodge decompositions on the boundary of Lipschitz polyhedra and applications. Math. Methods Appl. Sci. 24, 31–48 (2001)
Buffa A., Costabel M., Schwab C.: Boundary element methods for Maxwell’s equations on non-smooth domains. Numer. Math. 92, 679–710 (2002)
Buffa A., Costabel M., Sheen D.: On traces for H(curl,Ω) in Lipschitz domains. J. Math. Anal. Appl. 276, 845–867 (2002)
Buffa A., Hiptmair R., von Petersdorff T., Schwab C.: Boundary element methods for Maxwell transmission problems in Lipschitz domains. Numer. Math. 95, 459–485 (2003)
Colton, D. Kress, R.: Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Applied Mathematical Sciences, 2nd edn, vol. 93. Springer, Berlin (1998)
Costabel M.: Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results. SIAM J. Math. Anal. 19, 613–626 (1988)
Costabel M., Le Louër F.: On the Kleinman–Martin integral equation method for the electromagnetic scattering problem by a dielectric body. SIAM J. Appl. Math. 71, 635–656 (2011)
Costabel, M., Le Louër, F.: Shape derivatives of boundary integral operators in electromagnetic scattering. Part I. Shape differentiability of pseudo-homogeneous boundary integral operators. Integr. Equ. Oper. Theory (2012). doi:10.1007/s00020-012-1954-z
de La Bourdonnaye A. : Décomposition de H −1/2div (Γ) et nature de l’opérateur de Steklov–Poincaré du problème extérieur de l’électromagnétisme. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 316, 369–372 (1993)
Delfour, M.C., Zolésio, J.-P.: Shapes and geometries. Analysis, Differential Calculus, and Optimization. Advances in Design and Control, vol. 93. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia (2001)
Delfour, M.C., Zolésio, J.-P.: Tangential calculus and shape derivatives. Shape optimization and optimal design (Cambridge, 1999), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 216, pp. 37–60. Dekker, New York (2001)
Hadamard J.: Sur quelques questions du calcul des variations. Ann. Sci. École Norm. Sup. 24(3), 203–231 (1907)
Haddar, H., Kress, R.: On the Fréchet derivative for obstacle scattering with an impedance boundary condition. SIAM J. Appl. Math. 65, 194–208 (2004) (electronic)
Henrot, A., Pierre, M.: Variation et optimisation de formes. Mathématiques and Applications (Berlin) (Mathematics and Applications), vol. 48. Springer, Berlin (2005). Une analyse géométrique. (A geometric analysis)
Hettlich F.: Fréchet derivatives in inverse obstacle scattering. Inverse Problems 11, 371–382 (1995)
Hettlich, F.: Erratum: Frechet derivatives in inverse obstacle scattering [Inverse Problems 11(2), 371–382 (1995); MR1324650 (95k:35217)], Inverse Problems 14, 209–210 (1998)
Hettlich, F., Rundell, W.: A second degree method for nonlinear inverse problems. SIAM J. Numer. Anal. 37, 587–620 (2000) (electronic)
Hohage, T.: Iterative methods in inverse obstacle scattering: regularization theory of linear and nonlinear exponentially ill-posed problems. PhD in Numerical Analysis, University of Linz, Linz (1999)
Hsiao, G.C., Wendland, W.L.: Boundary integral equations. Applied Mathematical Sciences, vol. 164. Springer, Berlin (2008)
Kirsch A.: The domain derivative and two applications in inverse scattering theory. Inverse Problems 9, 81–96 (1993)
Kress, R.: Electromagnetic waves scattering: scattering by obstacles. In: Pike, E.R., Sabatier, P.C. (eds.) Scattering, pp. 191–210. Academic Press, London (2001)
Kress, R., Päivärinta, L.: On the far field in obstacle scattering. SIAM J. Appl. Math. 59, 1413–1426 (1999) (electronic)
Le Louër, F.: Optimisation de formes d’antennes lentilles intégrées aux ondes millimétrique. PhD in Numerical Analysis, Université de Rennes 1, Rennes 1 (2009). http://www.tel.archives-ouvertes.fr/tel-00421863/fr/
Leugering, G., Novotny, A.A., Menzala, G.P., Sokołowski, J.: On shape optimization for an evolution coupled system. Appl. Math. Optim. 64, 441–466 (2011)
Martin P.A., Ola P.: Boundary integral equations for the scattering of electromagnetic waves by a homogeneous dielectric obstacle. Proc. R Soc. Edinb. Sect. A 123, 185–208 (1993)
Monk, P.: Finite element methods for Maxwell’s equations. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford University Press, New York (2003)
Nédélec, J.-C.: Acoustic and electromagnetic equations. Integral Representations for Harmonic Problems. Applied Mathematical Sciences, vol. 144. Springer, New York (2001)
Potthast R.: Fréchet differentiability of boundary integral operators in inverse acoustic scattering. Inverse Problems 10, 431–447 (1994)
Potthast R.: Domain derivatives in electromagnetic scattering. Math. Methods Appl. Sci. 19, 1157–1175 (1996)
Potthast R.: Fréchet differentiability of the solution to the acoustic Neumann scattering problem with respect to the domain. J. Inverse Ill-Posed Problems 4, 67–84 (1996)
Potthast, R.: Fréchet-Differenzierbarkeit von Randintegraloperatoren und Randwertproblemen zur Helmholtzgleichung und den zeitharmonischen Maxwellgleichungen. PhD in Numerical Analysis, Göttingen (1996)
Schwartz, J.T.: Nonlinear functional analysis. Notes on Mathematics and its Applications. Gordon and Breach Science Publishers, New York (1969)
Sokołowski, J., Zolésio, J.-P.: Introduction to shape optimization. In: Shape Sensitivity Analysis. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 16. Springer, Berlin (1992)