Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương trình Schrödinger với tiềm năng đặc biệt: vấn đề biên tuyến tính và phi tuyến
Tóm tắt
Giả sử $$\Omega \subset \mathbb {R}^N$$ ($$N \ge 3$$) là một miền bị chặn $$C^2$$ và $$F \subset \partial \Omega$$ là một đa tạp con $$C^2$$ có kích thước $$0 \le k \le N-2$$. Ký hiệu $$\delta _F=\mathrm {dist}\,(\cdot ,F)$$, $$V=\delta _F^{-2}$$ và $$C_H(V)$$ là hằng số Hardy liên quan đến V trong $$\Omega$$. Chúng tôi nghiên cứu các nghiệm dương của các phương trình (LE) $$-L_{\gamma V} u = 0$$ và (NE) $$-L_{\gamma V} u + f(u) = 0$$ trong $$\Omega$$, nơi $$L_{\gamma V}=\Delta + \gamma V$$, $$\gamma < C_H(V)$$ và $$f \in C(\mathbb {R})$$ là một hàm lẻ, tăng theo đơn điệu. Chúng tôi mở rộng khái niệm dấu hiệu biên bình thường được giới thiệu trong Marcus và Nguyen (Ann Inst H. Poincaré (C) Non Linear Anal 34:69–88, 2015) và áp dụng nó để nghiên cứu phương trình tuyến tính (LE). Sử dụng những kết quả này, chúng tôi thu được các thuộc tính của nghiệm vừa phải của (NE). Cuối cùng, chúng tôi xác định một tiêu chí về tính phụ thuộc của các điểm trên $$\partial {\Omega}$$ liên quan đến f và nghiên cứu b.v.p. cho (NE). Cụ thể, chúng tôi thiết lập kết quả tồn tại và ổn định khi dữ liệu được tập trung vào tập hợp các điểm phụ thuộc.
Từ khóa
#Phương trình Schrödinger #tiềm năng đặc biệt #vấn đề biên tuyến tính #vấn đề biên phi tuyến #nghiệm dương #đa tạp con #hằng số HardyTài liệu tham khảo
Ancona, A.: Theorié du potentiel sur les graphes et les variétés, In: Ecole d’été de Probablités de Saint-Flour XVIII-1988, Springer Lecture Notes in Math., vol. 1427, pp. 1–112 (1990)
Ancona, A.: Negatively curved manifolds, elliptic operators and the Martin boundary. Ann. Math, Second Ser. 125, 495–536 (1987)
Ancona, A.: First eigenvalues and comparison of Greens functions for elliptic operators on manifolds or domains. J. d’Analyse Mathématique 72, 45–92 (1997)
Bandle, C., Moroz, V., Reichel, W.: Boundary blowup type sub-solutions to semilinear elliptic equations with Hardy potential. J. Lond. Math. Soc. 2, 503–523 (2008)
Brezis, H., Marcus, M.: Hardy inequalities revisited. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. (4) 25, 217–237 (1997)
Davies, E.B.: A review of Hardy inequalities. The Mazya anniversary collection, Vol. 2 (Rostock, 1998), pp. 55–67, Oper. Theory Adv. Appl., 110. Birkhäuser, Basel (1999)
Dávila, J., Dupaigne, L.: Hardy-type inequalities. J. Eur. Math. Soc. 6, 335–365 (2004)
Devyver, B., Fraas, M., Pinchover, Y.: Optimal Hardy weight for second-order elliptic operator: an answer to a problem of agmon. J. Funct. Anal. 266, 4422–4489 (2014)
Devyver, B., Pinchover, Y.: Optimal Lp Hardy-type inequalities. Ann. Inst. H. Poincare. Anal. Non Linéaire 33, 93118 (2016)
Fall, M.M.: On the Hardy-Poincaré inequality with boundary singularities. Commun. Contemp. Math. 14, 1250019 (2012)
Fall, M.M., Mahmoudi, F.: Weighted Hardy inequality with higher dimensional singularity on the boundary. Calc. Var. PDEs 50, 779–798 (2014)
Filippas, S., Moschini, L., Tertikas, A.: Sharp two-sided heat kernel estimates for critical Schrodinger operators on bounded domains. Commun. Math. Phys. 273, 237–281 (2007)
Gkikas, K.T., Véron, L.: Boundary singularities of solutions of semilinear elliptic equations with critical Hardy potentials. Nonlinear Anal. 121, 469–540 (2015)
Marcus, M.: Estimates of Green and Martin kernels for Schrödinger operators with singular potential in Lipschitz domains. arXiv:1801.09491
Marcus, M., Mizel, V.J., Pinchover, Y.: On the best constant for Hardys inequality in \(\mathbb{R}^N\). Trans. Am. Math. Soc. 350, 3237–3255 (1998)
Marcus, M., Moroz, V.: Moderate solutions of semilinear elliptic equations with Hardy potential under minimal restrictions on the potential. Sc. Norm. Sup. Pisa. arXiv:1603.09265 (to appear)
Marcus, M., Nguyen, P.-T.: Moderate solutions of semilinear elliptic equations with Hardy potential. Ann. Inst. H. Poincaré (C) Non Linear Anal. 34, 69–88 (2015)
Marcus, M., Shafrir, I.: An eigenvalue problem related to Hardys Lp inequality. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. 29, 581–604 (2000)
Marcus, M., Véron, L.: Nonlinear second order elliptic equations involving measures, De Gruyter series in nonlinear analysis and applications 21. De Gruyter, Berlin (2014)
Y. Pinchover, Personal communication