Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Chương trình Bán đại số SOS-Convex và Ứng dụng của nó trong Tối ưu hóa Bền vững: Một Lớp Tối ưu hóa Lõm Không mượt Khả thi
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một lớp mới của các hàm lõm không mượt được gọi là hàm bán đại số SOS-lõm mở rộng khái niệm gần đây về đa thức SOS-lõm. Lớp hàm lõm không mượt này bao gồm nhiều hàm không mượt thông dụng xuất hiện trong các ứng dụng như chuẩn Euclid, hàm trị riêng lớn nhất và các hàm bình phương tối thiểu với quy chuẩn ℓ
1-hoặc quy chuẩn lưới đàn hồi được sử dụng trong thống kê và cảm biến nén. Chúng tôi chỉ ra rằng, dưới các điều kiện khả thi nghiêm ngặt thường được sử dụng, giá trị tối ưu và một nghiệm tối ưu của các chương trình bán đại số SOS-lõm có thể được tìm thấy bằng cách giải quyết một bài toán lập trình bán định nghĩa đơn (SDP). Chúng tôi đạt được kết quả này bằng cách sử dụng các công cụ từ hình học bán đại số, định lý minimax lõm - lõm và một kết quả mới được thiết lập về bất bình đẳng Jensen cho đa thức SOS-lõm. Như một ứng dụng, chúng tôi chỉ ra rằng các bài toán tối ưu hóa SOS-lõm bền vững dưới sự không chắc chắn dữ liệu quang phổ bị hạn chế hưởng lợi từ việc giản lược SDP chính xác. Điều này mở rộng kết quả giản lược SDP chính xác hiện có cho sự không chắc chắn dữ liệu hình elip bị hạn chế và trả lời một câu hỏi còn bỏ ngỏ trong tài liệu về cách khôi phục một nghiệm bền vững của các chương trình đa thức SOS-lõm không chắc chắn từ việc giản lược lập trình bán định nghĩa của nó trong bối cảnh rộng hơn.
Từ khóa
#hàm SOS-lõm #tối ưu hóa bền #lập trình bán định nghĩa #phương pháp bán đại số #vật lý toán họcTài liệu tham khảo
Ahmadi, A.A., Parrilo, P.A.: A complete characterization of the gap between convexity and SOS-convexity. SIAM J. Optim. 23, 811–833 (2013)
Belousov, E.G., Klatte, D.: A Frank-Wolfe type theorem for convex polynomial programs. Comp. Optim. Appl. 22, 37–48 (2002)
Ben-Tal, A., Nemirovski, A.: Lectures on modern convex optimization. analysis, algorithms, and engineering applications. MPS/SIAM Series on Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA; Mathematical Programming Society (MPS), Philadelphia PA (2001)
Ben-Tal, A., El Ghaoui, L., Nemirovski, A.: Robust Optimization. Princeton U.P., Princeton (2009)
Bochnak, J., Coste, M., Roy, M.F.: Real Algebraic Geometry, vol. 36, p. x + 430. Springer, Berlin (1998)
Borwein, J.M., Vanderwerff, J.D.: Convex Functions: Constructions, Characterizations and Counterexamples Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 109. Cambridge University Press, Cambridge (2010)
Boyd, S., Vandenberghe, L.: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge (2004)
Bertsimas, D., Sim, M.: The price of robustness. Oper. Res. 52, 35–53 (2004)
Bertsimas, D., Brown, D.B., Caramanis, C.: Theory and applications of robust optimization. SIAM Rev. 53(3), 464–501 (2011)
CVX Research, Inc.C.VX.: Matlab software for disciplined convex programming, version 2.0. http://cvxr.com/cvx (2011)
Dinh, D., Goberna, M.A., López, M.A., Volle, M.: A unifying approach to robust convex infinite optimization duality. to appear in J. Optim. Theory & Appl. https://doi.org/10.1007/s10957-017-1136-x (2017)
Goberna, M.A., Jeyakumar, V., Li, G., López, M.A.: Robust linear semi-infinite programming duality under uncertainty. Math. Program. 139, 185–203 (2013)
Goldfarb, D., Iyengar, G.: Robust convex quadratically constrained programs. Math. Program. 97, 495–515 (2003)
Grant, M., Boyd, S.: Graph implementations for nonsmooth convex programs, recent advances in learning and control. In: Blondel, V., Boyd, S., Kimura, H. (eds.) Lecture notes in control and information sciences, pp. 95–110. Springer (2008)
Helton, J.W., Nie, J.W.: Semidefinite representation of convex sets. Math. Program. 122, 21–64 (2010)
Jeyakumar, V., Li, G.: Strong duality in robust convex programming: complete characterizations. SIAM J. Optim. 20, 3384–3407 (2010)
Jeyakumar, V., Li, G.: A new class of alternative theorems for SOS-convex inequalities and robust optimization. Appl. Anal. 94, 56–74 (2015)
Jeyakumar, V., Li, G.: Exact SDP relaxations for classes of nonlinear semidefinite programming problems. Oper. Res. Letters 40, 529–536 (2012)
Jeyakumar, V., Li, G., Vicente-Pérez, J.: Robust SOS-convex polynomial optimization problems: exact SDP relaxations. Optim. Letters 9, 1–18 (2015)
Jeyakumar, V., Vicente-Pérez, J.: Dual semidefinite programs without duality gaps for a class of convex minimax programs. J. Optim. Theory Appl. 162, 735–753 (2014)
Lasserre, J.B.: Moments, Positive Polynomials and their Applications. Imperial College Press, London (2009)
Lasserre, J.B.: Convexity in semialgebraic geometry and polynomial optimization. SIAM J. Optim. 19, 1995–2014 (2008)
Jeyakumar, V., Li, G.Y., Lee, G.M.: A robust von Neumann minimax theorem for zero-sum games under bounded payoff uncertainty. Oper. Res. Letters 39(2), 109–114 (2011)
Lee, G.M., Pham, T.S.: Stability and genericity for semialgebraic compact programs. J. Optim. Theory Appl. 169, 473–495 (2016)
Li, G., Jeyakumar, V., Lee, G.M.: Robust conjugate duality for convex optimization under uncertainty with application to data classification. Nonlinear Anal. 74(6), 2327–2341 (2011)
Zou, H., Hastie, T.: Regularization and variable selection via the elastic net. J. R. Statist. Soc. B 67, 310–320 (2005)