Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các phương pháp tiếp diễn chắc chắn trong việc theo dõi đường đi của các hệ thống có tham số
Tóm tắt
Các phương pháp tiếp diễn là các phương pháp hiệu quả để theo dõi các đường đi của các hệ thống phi tuyến có tham số, điều này rất phổ biến trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Các phương pháp tiếp diễn hiện có thường không ổn định trong một số trường hợp phức tạp trong thực tiễn, chẳng hạn như trường hợp các đường đi gần nhau hoặc trường hợp đường đi có sự biến đổi lớn tại một số điểm. Trong bài báo này, một chiến lược điều chỉnh chắc chắn hơn—chiến lược điều chỉnh hình cầu được trình bày. Sử dụng chiến lược mới này, kết hợp các chiến lược dự đoán khác nhau và các phương pháp lặp khác nhau với tốc độ hội tụ bậc hai địa phương hoặc siêu tuyến tính, các quy trình tiếp diễn chắc chắn để theo dõi các đường đi được đưa ra. Khi bước dự đoán không lớn hơn độ phân giải của các đường đi, quy trình theo dõi đường đi của chúng tôi có thể tránh hiện tượng “nhảy đường” và theo dõi toàn bộ đường đi một cách thành công. Các thí nghiệm số cho thấy phương pháp của chúng tôi ổn định và hiệu quả hơn so với các phương pháp tiếp diễn hiện có.
Từ khóa
#phương pháp tiếp diễn #đường đi #hệ thống phi tuyến #chiến lược điều chỉnh #hội tụ siêu tuyến tínhTài liệu tham khảo
Alexander, J.C.: Numerical continuation methods and bifurcation. In: Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points. Proc. Summer School and Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1978. Lecture Notes in Math, vol. 730, pp. 1–15. Springer, Berlin (1979)
Allgower, E.L., Georg, K.: Estimates for piecewise linear approximations of implicitly defined manifolds. Appl. Math. Lett. 2(2), 111–115 (1989). doi:10.1016/0893-9659(89)8990001-3
Allgower, E.L., Georg, K.: Numerical Continuation Methods, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 13. Springer, Berlin (1990). An introduction
Allgower, E.L., Georg, K.: Introduction to numerical continuation methods. Classics in Applied Mathematics, vol. 45. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia (2003). Reprint of the 1990 edition [Springer-Verlag, Berlin; MR1059455 (92a:65165)]
Bonnans, J.F., Gilbert, J.C., Lemaréchal, C., Sagastizábal, C.A.: Numerical Optimization Universitext, 2nd edn. Springer, Berlin (2006). Theoretical and practical aspects
Elhage-Hussein, A., Potier-Ferry, M., Damil, N.: A numerical continuation method based on Padé approximants. Int. J. Solids Struct. 37(46–47), 6981–7001 (2000). doi:10.1016/S0020-7683(99)00323-6. Stability, strength and stiffness in materials and structures
Georg, K.: On tracing an implicitly defined curve by quasi-newton steps and calculating bifurcation by local perturbations. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 2(1), 35–50 (1981). doi:10.1137/0902004
Gervais, J.J., Sadiky, H.: A new steplength control for continuation with the asymptotic numerical method. IMA J. Numer. Anal. 22(2), 207–229 (2002). doi:10.1093/imanum/22.2.207
Gervais, J.J., Sadiky, H.: A continuation method based on a high order predictor and an adaptive steplength control. ZAMM Z. Angew. Math. Mech 84(8), 551–563 (2004). doi:10.1002/zamm.200310125
Huber, B., Verschelde, J.: Polyhedral end games for polynomial continuation. Numer. Algoritm. 18(1), 91–108 (1998). doi:10.1023/A:1019163811284
Krauskopf, B., Osinga, H.M., Galán-Vioque, J., (eds.): Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems. Understanding Complex Systems. Springer, Dordrecht (2007). doi:10.1007/978-1-4020-6356-5. Path following and boundary value problems, Dedicated to Eusebius J. Doedel for his 60th birthday
Lahmam, H., Cadou, J.M., Zahrouni, H., Damil, N., Potier-Ferry, M.: High-order predictorccorrector algorithms. Int. J. Numer. Methods Eng. 55(6), 685–704 (2002). doi:10.1002/nme.524
Lan, G., Monteiro, R.D.C., Tsuchiya, T.: A polynomial predictor-corrector trust-region algorithm for linear programming. SIAM J. Optim. 19(4), 1918–1946 (2008). doi:10.1137/070693461
Leykin, A., Verschelde, J., Zhao, A.: Newton’s method with deflation for isolated singularities of polynomial systems. Theor. Comput. Sci. 359(1–3), 111–122 (2006). doi:10.1016/j.tcs.2006.02.018. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S030439750600168X
Lundberg, B.N., Poore, A.B.: Variable order Adams-Bashforth predictors with an error-stepsize control for continuation methods. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 12(3), 695–723 (1991). doi:10.1137/0912037
Mackens, W.: Numerical differentiation of implicitly defined space curves. Computing 41(3), 237–260 (1989). doi:10.1007/BF02259095
Morgan, A., Sommese, A., Wampler, C.: A power series method for computing singular solutions to nonlinear analytic systems. Numer. Math. 63(1), 391–409 (1992). doi:10.1007/BF01385867
Nocedal, J., Wright, S.J.: Numerical Optimization. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, 2nd edn. Springer, New York (2006)
Ojika, T.: Modified deflation algorithm for the solution of singular problems. i. a system of nonlinear algebraic equations. J. Math. Anal. Appl. 123(1), 199–221 (1987). doi:10.1016/0022-247X(87)90304-0. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022247X87903040
Rheinboldt, W.C.: Numerical continuation methods for finite element applications, Formulations and Computational Algorithms in Finite Element Analysis (U.S.-Germany Sympos., Mass. Inst. Tech., Cambridge, Mass., 1976), pp 599–631. MIT Press, Cambridge (1977)
Salahi, M., Peng, J., Terlaky, T.: On Mehrotra-type predictor-corrector algorithms. SIAM J. Optim. 18(4), 1377–1397 (2007). doi:10.1137/050628787
Salahi, M., Terlaky, T.: Mehrotra-type predictor-corrector algorithm revisited. Optim. Methods Softw. 23(2), 259–273 (2008). doi:10.1080/10556780701661393
Schwetlick, H., Cleve, J.: Higher order predictors and adaptive steplength control in path following algorithms. SIAM J. Numer. Anal. 24(6), 1382–1393 (1987). doi:10.1137/0724089
Sim, C.K.: Superlinear convergence of an infeasible predictor-corrector path-following interior point algorithm for a semidefinite linear complementarity problem using the Helmberg-Kojima-Monteiro direction. SIAM J. Optim. 21(1), 102–126 (2011). doi:10.1137/090779279