Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tính đều đặn thông qua các định thức và Ứng dụng vào các bản đồ hàm điều hòa
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh rằng nếu các định thức bậc k của một bản đồ Sobolev $$\mathbb {R}^d \rightarrow \mathbb {R}^d$$ là mịn thì bản đồ này là mịn, khi k và d không đều cả hai. Chúng tôi sử dụng kết quả này để suy ra một chứng minh đơn giản, độc lập cho định lý nổi tiếng Liouville về các bản đồ điều hòa, dưới các giả định đều đặn tối thiểu có thể, trong những không gian có chiều mà không phải là bội số của 4. Điều này được dựa trên phương pháp đã được thực hiện trong Acta Math 170(1):29–81 (1993) bởi Iwaniec và Martin. Chúng tôi cũng chứng minh tính đều đặn của các bản đồ điều hòa $$W^{1,d/2}$$ giữa các đa tạp Riemann, dưới giả định bổ sung về tính liên tục.
Từ khóa
#Điều hòa #Bản đồ Sobolev #Định lý Liouville #Tính đều đặn #Đa tạp RiemannTài liệu tham khảo
Gehring, F.W.: Rings and quasiconformal mappings in space. Transactions of the American Mathematical Society 103(3), 353–393 (1962)
Bojarski, B., Iwaniec, T.: Another approach to Liouville theorem. Math. Nachr. 107(1), 253–262 (1982)
Reshetnyak, Y.G.: Liouville’s theorem on conformal mappings for minimal regularity assumptions. Sibirskii Mat. Zhurnal 8(4), 835–840 (1967)
Iwaniec, T., Martin, G.: Geometric Function Theory and Non-linear Analysis. Oxford University Press, New York (2002)
Iwaniec, T., Martin, G.: Quasiregular mappings in even dimensions. Acta Math. 170(1), 29–81 (1993)
Lelong-Ferrand, J.: Geometrical interpretations of scalar curvature and regularity of conformal homeomorphisms. In: Lelong-Ferrand, J. (ed.) Differential Geometry and Relativity, pp. 91–105. Springer, Dordrecht (1976)
Shefel’, S.Z.: Smoothness of a conformal map of Riemannian spaces. Sib. Math. J. 23(1), 119–124 (1982)
Reshetnyak, Y.G.: Differential properties of quasiconformal maps and conformal maps of Riemannian spaces. Sib. Math. J. 19(5), 822–834 (1978)
Iwaniec, T.: Regularity theorems for solutions of partial differential equations for quasiconformal mappings in several dimensions (1982)
Liimatainen, T., Salo, M.: N-harmonic coordinates and the regularity of conformal mappings. Math. Res. Lett. 21(2), 341–361 (2014)
Goldstein, P., Hajlasz, P., Reza Pakzad, M.: Finite distortion Sobolev mappings between manifolds are continuous. Int. Math. Res. Not. 14, 4370–4391 (2017)
Convent, A., van Schaftingen, J.: Intrinsic colocal weak derivatives and Sobolev spaces between manifolds. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 16(1), 97–128 (2016)
Bryant, R.: https://mathoverflow.net/users/13972/robert-bryant), Obstructions for the wedge of coordinate differentials to be harmonic (version: 2018-06-01), https://mathoverflow.net/q/301584
Lee, J.M.: Introduction to Smooth Manifolds, 2nd edn. Springer, New York (2013)
Hajlasz, P.: Sobolev Mappings Between Manifolds and Metric Spaces Sobolev Spaces in Mathematics I, pp. 185–222. Springer, New York (2009)
Kolar, I., Slovak, J., Michor, P.W.: Natural operations in differential geometry (1999)
Iglesias-Zemmour, P., Karshon, Y.: Smooth Lie group actions are parametrized diffeological subgroups. Proc. Am. Math. Soc. 140.2, 731–739 (2012)
Müller, S.: Variational Models for Microstructure and Phase Transitions. Calculus of Variations and Geometric Evolution Problems, pp. 85–210. Springer, Berlin (1999)
Sawin, W.: https://mathoverflow.net/users/18060/will-sawin, An explicit reconstruction of a matrix from its minors (version: 2018-07-01), https://mathoverflow.net/q/304051
Geyer, L.: https://math.stackexchange.com/users/43179/lukas-geyer), Are there always harmonic forms locally? (version: 2018-05-21), https://math.stackexchange.com/q/2790343
Goldberg, S.: Unbounded Linear Operators: Theory and Applications. Courier Corporation, North Chelmsford (2006)
gerw: https://math.stackexchange.com/users/58577/gerw, Continuity of the kernel of bounded operators under perturbation (version: 2018-08-21), https://math.stackexchange.com/q/2889584
Palais, R.S.: Natural operations on differential forms. Trans. Am. Math. Soc. 92(1), 125–141 (1959)