Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Lý thuyết Định dạng cho Phương trình Vi phân Từng phần Không tự động mà Không Cấu trúc Uhlenbeck
Tóm tắt
Chúng tôi thiết lập các kết quả định dạng cục bộ tối đa cho các nghiệm yếu hoặc các cực tiểu cục bộ của $$\begin{aligned} \mathrm {div}A(x, Du)=0 \quad \text {và}\quad \min _u \int _\Omega F(x,Du)\,\mathrm{d}x, \end{aligned}$$ đưa ra những giả định mới về tính và liên tục trên A hoặc F với sự tăng trưởng tổng quát (p, q). Lý thuyết định dạng tối ưu cho các vấn đề không tự động ở trên là một vấn đề đã tồn tại từ lâu; phương pháp cổ điển bởi Giaquinta và Giusti liên quan đến việc giả định rằng tính phi tuyến F thỏa mãn một điều kiện cấu trúc. Điều này có nghĩa là các điều kiện tăng trưởng và tính hình thái phụ thuộc vào một hàm đặc biệt cho trước, chẳng hạn như $$t^p$$, $$\varphi (t)$$, $$t^{p(x)}$$, $$t^p+a(x)t^q$$, và không chỉ F mà còn hàm đã cho cũng được giả định là thỏa mãn các điều kiện liên tục thích hợp. Do đó, những điều kiện định dạng này phụ thuộc vào những hàm đặc biệt cho trước. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề mà không cần cấu trúc hàm đặc biệt, và không giả định cấu trúc Uhlenbeck. Chúng tôi giới thiệu một điều kiện tính hình thái mới chỉ sử dụng A hoặc F, điều này dẫn đến hàm là quasi-isotropic, tức là hàm có thể phụ thuộc vào phương hướng, nhưng chỉ với một hằng số nhân. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra điều kiện liên tục trên A hoặc F mà không có cấu trúc cụ thể và không có sự hạn chế trực tiếp nào về tỷ lệ $$\frac{q}{p}$$ của các tham số từ điều kiện tăng trưởng (p, q). Chúng tôi thiết lập tính định dạng cục bộ $$C^{1,\alpha }$$ cho một số $$\alpha \in (0,1)$$ và tính định dạng $$C^{\alpha }$$ cho bất kỳ $$\alpha \in (0,1)$$ của các nghiệm yếu và các cực tiểu cục bộ. Những kết quả định dạng vốn đã được biết đến, về cơ bản là tối ưu, cũng được bao gồm như là các trường hợp đặc biệt.
Từ khóa
#định dạng cục bộ #nghiệm yếu #cực tiểu cục bộ #phương trình vi phân từng phần #tính hình thái #giả định liên tục #sự tăng trưởng (p #q)Tài liệu tham khảo
Acerbi, E., Mingione, G.: Regularity results for a class of functionals with non-standard growth. Arch. Ration. Mech. Anal. 156(2), 121–140, 2001
Baroni, P., Colombo, M., Mingione, G.: Regularity for general functionals with double phase. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 57(2), Art. 62, 2018
Beck, L., Mingione, G.: Lipschitz bounds and non-uniform ellipticity. Comm. Pure Appl. Math. 73, 944–1034, 2020
Bella, P., Schäffner, M.: On the regularity of minimizers for scalar integral functionals with \((p, q)\)-growth. Anal. PDE 13(7), 2241–2257, 2020
Benyaiche, A., Harjulehto, P., Hästö, P., Karppinen, A.: The weak Harnack inequality for unbounded supersolutions of equations with generalized Orlicz growth. J. Differ. Equ. 275, 790–814, 2021
Benyaiche, A., Khlifi, I.: Harnack inequality for quasilinear elliptic equations in generalized Orlicz-Sobolev spaces. Pot. Anal. 53, 631–643, 2020
Chlebicka, I., Gwiazda, P., Świerczewska-Gwiazda, A., Wróblewska-Kamińska, A.: Partial Differential Equations in Anisotropic Musielak-Orlicz Spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York (2021)
Colombo, M., Mingione, G.: Regularity for double phase variational problems. Arch. Ration. Mech. Anal. 215(2), 443–496, 2015
Colombo, M., Mingione, G.: Bounded minimisers of double phase variational integrals. Arch. Ration. Mech. Anal. 218(1), 219–273, 2015
Colombo, M., Mingione, G.: Calderón-Zygmund estimates and non-uniformly elliptic operators. J. Funct. Anal. 270(4), 1416–1478, 2016
Cho, Y.: Global gradient estimates for divergence-type elliptic problems involving general nonlinear operators. J. Differ. Equ. 264(10), 6152–6190, 2018
De Filippis, C., Mingione, G.: Lipschitz bounds and nonautonomous integrals. Arch. Ration. Mech. Anal. 242, 973–1057, 2021
De Filippis, C., Mingione, G.: Nonuniformly elliptic Schauder theory, Preprint (2022), arXiv: 2201.07369.
DiBenedetto, E.: \(C^{1+\alpha }\) local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations. Nonlinear Anal. 7(8), 827–850, 1983
Diening, L., Harjulehto, P., Hästö, P., Ružička, M.: Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents, vol. 2017. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2011
Diening, L., Stroffolini, B., Verde, A.: Everywhere regularity of functionals with \(\Phi \)-growth. Manuscripta Math. 129(4), 449–481, 2009
Evans, L.C.: A new proof of local \(C^{1,\alpha }\) regularity for solutions of certain degenerate elliptic p.d.e. J. Differ. Equ. 45(3), 356–373, 1982
Fan, X.: Global \(C^{1,\alpha }\) regularity for variable exponent elliptic equations in divergence form. J. Differ. Equ. 235(2), 397–417, 2007
Giaquinta, M.: Growth conditions and regularity, a counterexample. Manuscripta Math. 59(2), 245–248, 1987
Giaquinta, M., Giusti, E.: Differentiability of minima of nondifferentiable functionals. Invent. Math. 72, 285–298, 1983
Giaquinta, M., Giusti, E.: Global \(C^{1,\alpha }\)-regularity for second order quasilinear elliptic equations in divergence form. J. Reine Angew. Math. 351, 55–65, 1984
Harjulehto, P., Hästö, P.: Orlicz Spaces and Generalized Orlicz Spaces, vol. 2236. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham (2019)
Harjulehto, P., Hästö, P.: Extension in generalized Orlicz spaces, Nonlinear Studies 26 (2019), no. 4 (Lars-Erik Persson Anniversary Special Issue), 861–868.
Harjulehto, P., Hästö, P., Lee, M.: Hölder continuity of quasiminimizers and \(\omega \)-minimizers of functionals with generalized Orlicz growth, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. XXII, no. 2, 549–582, 2021
Harjulehto, P., Hästö, P., Toivanen, O.: Hölder regularity of quasiminimizers under generalized growth conditions, Calc. Var. Partial Differential Equations 56(2), Paper No. 22, 2017
Harjulehto, P., Hästö, P., Karppinen, A.: Local higher integrability of the gradient of a quasiminimizer under generalized Orlicz growth conditions. Nonlinear Anal. 177(part 3), 543–552, 2018
Hästö, P.: The maximal operator on generalized Orlicz spaces. J. Funct. Anal. 269(12), 4038–4048, 2015
Hästö, P., Ok, J.: Maximal regularity for local minimizers of non-autonomous functionals. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 24(4), 1285–1334, 2022
Hästö, P., Ok, J.: Regularity theory for non-autonomous problems with a priori assumptions (in preparation)
Lang, J., Mendez, O.: Analysis on Function Spaces of Musielak-Orlicz Type. Chapman & Hall/CRC Monographs and Research Notes in Mathematics, 2019
Lewis, J.: Regularity of the derivatives of solutions to certain degenerate elliptic equations. Indiana Univ. Math. J. 32(6), 849–858, 1983
Lieberman, G.M.: The natural generalization of the natural conditions of Ladyzhenskaya and Uraltseva for elliptic equations. Comm. Partial Differ. Equ. 16(2–3), 311–361, 1991
Maeda, F.Y., Mizuta, Y., Ohno, T., Shimomura, T.: Boundedness of maximal operators and Sobolev’s inequality on Musielak-Orlicz-Morrey spaces. Bull. Sci. Math. 137, 76–96, 2013
Marcellini, P.: Regularity of minimizers of integrals of the calculus of variations with non standard growth conditions. Arch. Ration. Mech. Anal. 105, 267–284, 1989
Marcellini, P.: Regularity and existence of solutions of elliptic equations with \((p, q)\)-growth conditions. J. Differ. Equ. 90, 1–30, 1991
Mingione, G.: Regularity of minima: An invitation to the dark side of the calculus of variations. Appl. Math. 51(4), 355–426, 2006
Ok, J.: Regularity for double phase problems under additional integrability assumptions. Nonlinear Anal. 194, article 111408, 2020
Rădulescu, V.: Nonlinear elliptic equations with variable exponent: old and new. Nonlinear Anal. 121, 336–369, 2015
Uralćeva, N.N.: Degenerate quasilinear elliptic systems (Russian). Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 7, 184–222, 1968.
Zhikov, V.V.: Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticity theory. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 50, 675–710, 1986
Zhikov, V.V.: On Lavrentiev’s phenomenon. Russian J. Math. Phys. 3(2), 249–269, 1995