Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp collocation spline bậc hai cho phương trình vi phân riêng phần elliptic
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét các phương pháp Collocation Spline Bậc Hai (QSC) cho các Phương Trình Vi Phân Riêng Phần Elliptic bậc hai. Cách diễn đạt chuẩn của những phương pháp này dẫn đến các xấp xỉ không tối ưu. Để thu được các xấp xỉ QSC tối ưu, các nhiễu loạn bậc cao của bài toán PDE được tạo ra. Các nhiễu loạn này có thể được áp dụng cho các toán tử của bài toán PDE hoặc cho các vế bên phải, từ đó dẫn đến hai cách diễn đạt khác nhau của các phương pháp QSC tối ưu. Các đặc điểm hội tụ của các phương pháp QSC được nghiên cứu. Các ước lượng lỗi toàn cục tối ưu O(h^(3−j)) cho đạo hàm riêng thứ j được thu được cho một lớp bài toán nhất định. Hơn nữa, các giới hạn lỗi O(h^(4−j)) cho đạo hàm riêng thứ j cũng được thu được tại một số tập điểm nhất định. Các kết quả từ các thí nghiệm số xác nhận hành vi lý thuyết của các phương pháp QSC. Các kết quả hiệu suất cũng cho thấy rằng các phương pháp QSC rất hiệu quả từ quan điểm tính toán. Chúng đã được triển khai một cách hiệu quả trên các máy tính song song.
Từ khóa
#phương pháp vi phân riêng phần #phương trình elliptic #xấp xỉ tối ưu #phân tích số.Tài liệu tham khảo
Ahlberg, J. H., and T. Ito,A collocation method for two-point boundary value problems, Math. Comp., 29 (1975), pp. 129–131, 761–776.
Archer, D. A.,Some collocation methods for differential equations, Rice University, Houston, TX, U.S.A., Ph.D. thesis, 1973.
Bonomo, J., W. R. Dyksen and J. R. Rice,The ELLPACK performance evaluation system, Purdue University, Computer Science Department, Tech. Rep. CSD-TR 569 (1986), 23 pages.
Cavendish, J. C.,A collocation method for elliptic and parabolic boundary value problems, using cubic splines, University of Pittsburgh, PA, U.S.A., Ph.D. thesis, 1972.
Christara, C. C.,Spline collocation methods, software and architectures for linear elliptic boundary value problems, Ph.D. thesis, Purdue University, IN, U.S.A., 1988.
Christara, C. C. and E. N. Houstis,A domain decomposition spline collocation method for elliptic partial differential equations, Proceedings of the fourth Conference on Hypercubes, Concurrent Computers and Applications (HCCA4), March 1989, Monterey, CA, U.S.A., pp. 1267–1273.
Christara, C. C.,Quadratic spline collocation methods for elliptic PDEs, Univ. of Toronto, Tech. Rep. DCS-135 (1990), (32 pgs).
Christara, C. C.,Conjugate gradient methods for spline collocation equations, Proceedings of the fifth Distributed Memory Computing Conference (DMCC5), April 1990, Charleston, SC, U.S.A., pp. 550–558.
Christara, C. C.,Schur complement preconditioned conjugate gradient methods for spline collocation equations, Proceedings of the 1990 International Conference on Supercomputing (ICS90), June 1990, Amsterdam, the Netherlands, pp. 108–120.
Christara, C. C.,Parallel Solvers for Spline Collocation Equations, Copper Mountain Conference on Iterative Methods, April 1992, CO, U.S.A., submitted for publication, (21 pages).
Daniel, J. W. and B. K. Swartz,Extrapolated collocation for two-point boundary value problems using cubic splines, J. Inst. Maths Applics, 16 (1975), pp. 161–174.
de Boor, C., and B. Swartz,Collocation at Gaussian points, SIAM J. Numer. Anal., 10, 4 (1973), pp. 582–606.
Fyfe, D. J.,The use of cubic splines in the solution of two-point boundary value problems, Comput. J., 17 (1968), pp. 188–192.
Houstis, E. N., E. A. Vavalis and J. R. Rice,Convergence of an O(h 4)cubic spline collocation method for elliptic partial differential equations, SIAM J. Numer. Anal., 25, 1 (1988), pp. 54–74.
Houstis, E. N., C. C. Christara and J. R. Rice,Quadratic spline collocation methods for two-point boundary value problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 26, (1988), pp. 935–952.
Houstis, E. N., J. R. Rice, C. C. Christara and E. A. Vavalis,Performance of Scientific Software, Mathematical Aspects of Scientific Software, (J. R. Rice, ed.), Springer Verlag, 1988, pp. 123–156.
Irodotou-Ellina, M.,Optimal spline collocation methods for high degree two-point boundary value problems, Aristotle University of Thessaloniki, Greece, Ph.D. thesis, 1987.
Irodotou-Ellina, M. and E. N. Houstis,An O (h 6)quintic spline collocation method for fourth order two-point boundary value problems, BIT, 28 (1988), pp. 288–301.
Kammerer, W. J., G. W. Reddien and R. S. Varga,Quadratic interpolatory splines, Numer. Math., 22 (1974), pp. 241–259.
Khalifa, A. K. and J. C. Eilbeck,Collocation with quadratic and cubic splines, IMA J. Numer. Anal., 2 (1982), pp. 111–121.
Marsden, M. J.,Quadratic spline interpolation, Bull. Amer. Math. Soc., 30 (1974), pp. 903–906.
Papamichael, N., and M. J. Soares,A class of cubic and quintic modified collocation methods for the solution of two-point boundary value problems, Brunel University, Tech. Rep. (1987), 41 pages.
Rice, J. R., E. N. Houstis and W. R. Dyksen,A population of linear second order, elliptic partial differential equations on rectangular domains, Math. Comp., 36 (1981), pp. 475–484.
Rice, J. R. and R. F. Boisvert,Solving Elliptic Problems with ELLPACK, Springer-Verlag, New York, 1985.
Russell, R. D. and L. F. Shampine,A collocation method for boundary value problems, Numer. Math., 19 (1972),pp. 1–28.
Sakai, M. andR. Usmani, Quadratic spline solutions and two-point boundary value problems, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto University, 19 (1983), pp. 7–13.