Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giải Tích Weyl Pseudobiến Trên Các Định Báng (Pseudo-)Riemann
Tóm tắt
Có thể lập luận rằng trên không gian phẳng $${\mathbb {R}}^d$$, phép lượng tử Weyl là lựa chọn tự nhiên nhất và có những đặc tính tốt nhất (ví dụ, bảo toàn giao nhau đồng cấu, các ký hiệu thực tương ứng với các toán tử Hermitian). Trên một đa tạp tổng quát, không có phép lượng tử đặc biệt nào, và một phép lượng tử thường được định nghĩa theo từng biểu đồ. Ở đây, chúng tôi giới thiệu một phép lượng tử mà chúng tôi tin rằng có những đặc tính tốt nhất để nghiên cứu các toán tử tự nhiên trên các đa tạp giả Riemann. Đây là một sự tổng quát của phép lượng tử Weyl—chúng tôi gọi nó là phép lượng tử Weyl bất đối xứng cân bằng. Giữa nhiều điều khác, chúng tôi chứng minh rằng nó ánh xạ các ký hiệu tích phân bình phương thành các toán tử Hilbert–Schmidt, và rằng ngay cả (resp. len) đa thức cũng được ánh xạ thành các toán tử vi phân chẵn (resp. lẻ). Chúng tôi cũng trình bày một công thức cho sản phẩm sao tương ứng và đưa ra sự phát triển tiệm cận của nó đến bậc bốn trong hằng số Planck.
Từ khóa
#Phép lượng tử Weyl #đa tạp giả Riemann #toán tử Hermitian #hình học tổng quát.Tài liệu tham khảo
Ali, S.T., Engliš, M.: Quantization methods: a guide for physicists and analysts. Rev. Math. Phys. 17, 391–490 (2005). arXiv:math-ph/0405065
Avramidi, I.G.: Covariant methods for the calculation of the effective action in quantum field theory and investigation of higher derivative quantum gravity. Ph.D. Thesis, Moscow State Lomonosov University (1986). arXiv:hep-th/9510140 [hep-th]
Avramidi, I.G.: Heat Kernel and Quantum Gravity. Lecture Notes in Physics, vol. 60. Springer, Berlin (2000)
Avramidi, I.G.: Heat Kernel Method and Its Applications. Birkhäuser, Basel (2015)
Bokobza-Haggiag, J.: Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété différentiable. Ann. l’inst. Fourier 19, 125–177 (1969)
Bokobza-Haggiag, J.: Une définition globale des opérateurs pseudo-différentiels sur une variété différentiable. CIME Summer Schools, vol. 47, chap. 2, Springer, Berlin, pp. 11–36 (2010)
Bordemann, M., Neumaier, N., Pflaum, M.J., Waldmann, S.: On representations of star product algebras over cotangent spaces on Hermitian line bundles. J. Funct. Anal. 199, 1–47 (2003). arXiv:math/9811055 [math.QA]
Choquard, P., Steiner, F.: The story of van Vleck’s and Morette–van Hove’s determinants. Helvetica Physica Acta 69, 636–654 (1996)
Christensen, S.M.: Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: the covariant point-separation method. Phys. Rev. D 14, 2490–2501 (1976)
Décanini, Y., Folacci, A.: Off-diagonal coefficients of the DeWitt-Schwinger and Hadamard representations of the Feynman propagator. Phys. Rev. D 73, 044027 (2006). arXiv:gr-qc/0511115
Dereziński, J., Gérard, C.: Mathematics of Quantization and Quantum Fields. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge (2013)
DeWitt, B.S., Brehme, R.W.: Radiation damping in a gravitational field. Ann. Phys. 9, 220–259 (1960)
Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy, N., Victoria-Monge, C.: Mathematical foundations of geometric quantization. Extr. Math. 13, 135–238 (1998). arXiv:math-ph/9904008
Fulling, S.A.: Pseudodifferential operators, covariant quantization, the inescapable Van Vleck–Morette determinant, and the \(\tfrac{R}{6}\) controversy. Int. J. Mod. Phys. D 5, 597–608 (1996); revised and extended version in: Allen, R.E. (ed.) Relativity, Particle Physics and Cosmology, Proceedings of the Richard Arnowitt Fest (College Station, 1998), World Scientific, Singapore, pp. 329–342 (1999)
Fulling, S.A., Kennedy, G.: The resolvent parametrix of the general elliptic linear differential operator: a closed form for the intrinsic symbol. Trans. Am. Math. Soc. 310, 583–617 (1988)
Güntürk, K.S.: Covariant Weyl quantization, symbolic calculus, and the product formula. Ph.D. Thesis, Texas A&M University (2006). http://hdl.handle.net/1969.1/3963
Hawkins, E.: Geometric quantization of vector bundles and the correspondence with deformation quantization. Commun. Math. Phys. 215, 409–432 (2000). arXiv:math/9808116 [math.QA]. arXiv:math/9811049 [math.QA]
Hörmander, L.: The Weyl calculus of pseudo-differential operators. Commun. Pure Appl. Math. 32, 359–443 (1979)
Hörmander, L.: Pseudo-Differential Operators, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 3. Springer, Berlin (1985)
Kohn, J.J., Nirenberg, L.: An algebra of pseudo-differential operators. Commun. Pure Appl. Math. 18, 269–305 (1965)
Levy, C.: Pseudodifferential Operators on Manifolds with Linearization. arXiv:0811.1667 [math.FA]
Martín-García, J.M., et al.: xAct: Efficient tensor computer algebra for the Wolfram Language (2002–2018). http://www.xact.es/
McKeag, P., Safarov, Y.: Pseudodifferential Operators on Manifolds: A Coordinate-free Approach, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 211. Springer, Berlin (2011)
Moyal, J.E.: Quantum mechanics as a statistical theory. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 45, 99–124 (1949)
Nest, R., Tsygan, B.: Formal versus analytic index theorems. Int. Math. Res. Not. 1996, 557–564 (1996)
Nutma, T.: xTras: a field-theory inspired xAct package for mathematica. Comput. Phys. Commun. 185, 1719–1738 (2014). arXiv:1308.3493 [cs.SC]
Ottewill, A.C., Wardell, B.: Transport equation approach to calculations of Hadamard Green functions and non-coincident DeWitt coefficients. Phys. Rev. D 84, 104039 (2011). arXiv:0906.0005 [gr-qc]
Pflaum, M.J.: A deformation-theoretical approach to Weyl quantization on Riemannian manifolds. Lett. Math. Phys. 45, 277–294 (1998)
Pflaum, M.J.: The normal symbol on Riemannian manifolds. N. Y. J. Math. 4, 97–125 (1998)
Poisson, E., Pound, A., Vega, I.: The motion of point particles in curved spacetime. Living Rev. Relat. 14 (2011). http://www.livingreviews.org/lrr-2011-7
Safarov, Y.: Pseudodifferential operators and linear connections. Proc. Lond. Math. Soc. 74, 379–416 (1997)
Sharafutdinov, V.A.: Geometric symbol calculus for pseudodifferential operators. I. Sib. Adv. Math. 15, 81–125 (2005)
Sharafutdinov, V.A.: Geometric symbol calculus for pseudodifferential operators. II. Sib. Adv. Math. 15, 71–95 (2005)
Shubin, M.A.: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Springer, Berlin (2001)
Synge, J.L.: Relativity: The General Theory. North-Holland, Amsterdam (1960)
Wardell, B.: CovariantSeries: a mathematica package for calculation covariant series expansions of fundamental bitensors (2009–2012). http://www.barrywardell.net/Research/Code/CovariantSeries/
Weyl, H.: Gruppentheorie und Quantenmechanik. Hirzel, Leipzig (1931)
Widom, H.: A complete symbolic calculus for pseudodifferential operators. Bull. Sci. Math. 104, 19–63 (1980)
Wigner, E.: On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. Rev. 40, 749–759 (1932)
Woodhouse, N.: Geometric Quantization, Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford (1997)