Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Thuật toán Douglas–Rachford Có Tiền Điều Kiện cho Các Vấn Đề Hình Ảnh Biến Thiên Được Điều Chỉnh TV và TGV
Tóm tắt
Thuật toán điều kiện trước được giới thiệu gần đây là phương pháp lặp Douglas–Rachford (PDR) cho các vấn đề saddle-point lồi–concave được nghiên cứu về tỷ lệ hội tụ và được áp dụng cho các vấn đề hình ảnh biến thiên với hình phạt biến thiên tổng (TV) và biến thiên tổng tổng quát (TGV). Một tỷ lệ
$${\mathcal {O}}(1/k)$$
cho các khoảng cách sơ cấp–đối kháng bị hạn chế được đánh giá cho các chuỗi ergodic do lặp PDR tạo ra đã được thiết lập. Dựa trên PDR, các thuật toán lặp nhanh mới cho giảm nhiễu TV, làm mờ TV và giảm nhiễu TGV bậc hai với
$$L^2$$
và
$$L^1$$
được đề xuất. Trong khi các bộ tiền điều kiện đối xứng (khối) Red–Black Gauss–Seidel hiệu quả cho nhiệm vụ giảm nhiễu, các bộ tiền điều kiện dựa trên biến đổi Fourier nhanh được sử dụng cho các vấn đề làm mờ. Cuối cùng, cho vấn đề
$$L^2$$
-TGV giảm nhiễu, một khoảng cách sơ cấp–đối kháng sửa đổi hiệu quả được phát triển mà có thể phục vụ như là một tiêu chí dừng. Tất cả các thuật toán được kiểm tra và so sánh trong các thí nghiệm số. Đặc biệt, đối với các vấn đề mà tính lồi mạnh không được đảm bảo, kết quả cho thấy rằng các kỹ thuật tiền điều kiện được đề xuất là hữu ích và dẫn đến kết quả cạnh tranh.
Từ khóa
#Douglas-Rachford #tiền điều kiện #giảm nhiễu TV #TGV #hội tụ #biến thiên tổng #quá trình làm mờ #ít ưu tiênTài liệu tham khảo
Boţ, R.I., Hendrich, C.: A Douglas-Rachford type primal–dual method for solving inclusions with mixtures of composite and parallel-sum type monotone operators. SIAM J. Optim. 23(4), 2541–2565 (2013a)
Boţ, R.I., Hendrich, C.: Solving monotone inclusions involving parallel sums of linear composed maximal monotone operators. arXiv:1306.3191 (2013b)
Bredies, K.: Recovering piecewise smooth multichannel images by minimization of convex functionals with total generalized variation penalty. In: Bruhn, A., Pock, T., Tai, X.C. (eds.) Efficient Algorithms for Global Optimization Methods in Computer Vision. Lecture Notes in Computer Science, pp. 44–77. Springer, Berlin (2014)
Bredies, K., Holler, M.: Artifact-free JPEG decompression with total generalized variation. In: Proceedings of VISAPP 2012—International Joint Conference on Computer Vision, Imaging and Computer Graphics Theory and Applications, pp. 12–21 (2012)
Bredies, K., Sun, H.P.: Preconditioned Douglas–Rachford splitting methods for convex–concave saddle-point problems. SIAM J. Numer. Anal. (2014, in press)
Bredies, K., Valkonen, T.: Inverse problems with second-order total generalized variation constraints. In: Proceedings of SampTA 2011—9th International Conference on Sampling Theory and Applications, Singapore (2011)
Bredies, K., Kunisch, K., Pock, T.: Total generalized variation. SIAM J. Imaging Sci. 3(3), 492–526 (2010)
Briceño-Arias, L., Combettes, P.L.: A monotone+skew splitting model for composite monotone inclusions in duality. SIAM J. Optim. 21(4), 1230–1250 (2011)
Chambolle, A., Pock, T.: A first-order primal–dual algorithm for convex problems with applications to imaging. J. Math. Imaging Vis. 40(1), 120–145 (2011)
Eckstein, J., Bertsekas, D.P.: On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators. Math. Program. 55(1–3), 293–318 (1992)
Ekeland, I., Témam, R.: Convex Analysis and Variational Problems. No. 1 in Classics in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics (1999)
Esser, E.: Applications of Lagrangian-based alternating direction methods and connections to split Bregman. Tech. rep., CAM report 09–2009, UCLA (2009)
Farrall, A.: Human brain MRI. http://www.anatomy.mvm.ed.ac.uk/museum/explore-anatomy.php (2011). Accessed 07 Feb 2014
Gabay, D.: Applications of the method of multipliers to variational inequalities. In: Fortin, M., Glowinski, R. (eds.) Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems, Studies in Mathematics and its Applications, vol. 15, pp. 299–331. Elsevier, Amsterdam (1983)
Gabay, D., Mercier, B.: A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation. Comput. Math. Appl. 2(1), 17–40 (1976)
Goldstein, T., Osher, S.: The split Bregman method for \(L^1\)-regularized problems. SIAM J. Imaging Sci. 2(2), 323–343 (2009)
Ito, K., Kunisch, K.: Lagrange Multiplier Approach to Variational Problems and Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Advances in Design and Control (2008)
Knoll, K., Bredies, K., Pock, T., Stollberger, R.: Second order total generalized variation (TGV) for MRI. Magn. Reson. Med. 65(2), 480–491 (2011)
Lions, P., Mercier, B.: Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators. SIAM J. Numer. Anal. 16(6), 964–979 (1979)
Lorenz, D.A., Pock, T.: An inertial forward-backward algorithm for monotone inclusions. arXiv:1403.3522 (2014)
Pock, T., Chambolle, A.: Diagonal preconditioning for first order primal–dual algorithms in convex optimization. In: IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV), 2011, pp. 1762–1769 (2011)
Rockafellar, R.T.: Monotone operators and the proximal point algorithm. SIAM J. Control Optim. 14(5), 877–898 (1976)
Rudin, L.I., Osher, S., Fatemi, E.: Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D 60(1–4), 259–268 (1992)
Temam, R.: Mathematical Problems in Plasticity. Bordas (1985)
Thomas, J.W.: Numerical Partial Differential Equations: Conservation Laws and Elliptic Equations, Texts in Applied Mathematics, vol. 33. Springer, New York (1999)
Uzawa, H.: Iterative methods in concave programming. In: Arrow, K., Hurwicz, L., Uzawa, H. (eds.) Studies in Linear and Nonlinear Programming, pp. 154–165. Stanford University Press, Palo Alto (1958)
Vũ, B.C.: A splitting algorithm for dual monotone inclusions involving cocoercive operators. Adv. Comput. Math. 38(3), 667–681 (2013)
Valkonen, T., Bredies, K., Knoll, F.: Total generalized variation in diffusion tensor imaging. SIAM J. Imaging Sci. 6(1), 487–525 (2013)
Zhang, X.Q., Burger, M., Osher, S.: A unified primal–dual algorithm framework based on Bregman iteration. J. Sci. Comput. 46(1), 20–46 (2011)