Phương pháp tiếp diễn tham số có điều chỉnh và các ứng dụng của nó

Computational Mathematics and Modeling - Tập 20 - Trang 286-317 - 2009
S. S. Zhulin1
1Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State University, Moscow, Russia

Tóm tắt

Bài báo thảo luận về phương pháp tiếp diễn tham số cho các phương trình phi tuyến. Một thuật toán tiếp diễn có điều chỉnh được đề xuất, định lý về độ chính xác xấp xỉ được chứng minh và các vấn đề về triển khai số hiệu quả được xem xét. Một cách tiếp cận được mô tả để áp dụng phương pháp tiếp diễn nhằm tìm kiếm nghiệm cực trị Pontryagin trong bài toán kiểm soát tối ưu. Các thuật toán do tác giả phát triển được áp dụng cho các bài toán kiểm soát tối ưu phi tuyến theo điều khiển, cho các bài toán với miền điều khiển không trơn, và cho các bài toán affine với các ràng buộc hỗn hợp.

Từ khóa

#phương pháp tiếp diễn tham số #phương trình phi tuyến #bài toán kiểm soát tối ưu #nghiệm cực trị Pontryagin #thuật toán điều chỉnh.

Tài liệu tham khảo

M. E. Lahaye, “Solution of system of transcendental equations,” Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 5, 805–822 (1948). D. F. Davidenko, “A new method for solving systems of nonlinear equations,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, 88, 601–602 (1953). D. F. Davidenko, “Approximate solution of systems of nonlinear equations,” Ukr. Mat. Zh., 5, No. 2, 196–206 (1953). N. A. Shidlovskaya, “Application of the method of differentiation with respect to parameter to solve nonlinear equations in Banach spaces,” Uch. Zap. L’vov. Gos. Univ., Ser. Matem. Nauk, 33, 3–17 (1958). V. E. Shamanskii, Numerical Methods for Solving Boundary-Value Problems by Computer [in Russian], Naukova Dumka, Kiev (1966). S. Roberts and J. Shipman, “Continuation in shooting methods for two-point boundary-value problems,” J. Math. Anal. Appl., 18, 45–58 (1967). V. I. Shalashilin, “Parametric continuation method and its application to the problem of large bending of a non-steep circular arch,” Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekhan. Tverdogo Tela, No. 4, 178–184 (1979). E. I. Grigolyuk and V. I. Shalashilin, Topics in Nonlinear Deformation [in Russian], Nauka, Moscow (1988). V. I. Shalashilin and E. B. Kuznetsov, Parametric Continuation Method and the Best Parametrization [in Russian], Editorial URSS, Moscow (1999). S. N. Avvakumov, “Solution of a smooth linear time-optimal problem by parametric continuation with feedback,” in: Topics in Computational Mathematics, Mathematical Physics, and Programming [in Russian], MGU, Moscow (1988), pp. 52–54. S. N. Avvakumov, Yu. N. Kiselev, and M. V. Orlov, “Methods to solve optimal control problems using Pontryagin maximum principle,” Trudy Matem. Inst. Steklov RAN, 21, 3–31 (1995). Yu. N. Kiselev and M. V. Orlov, “Potential method in a linear time-optimal problem,” Diff. Uravn., 32, No. 1, 44–51 (1996). Yu. N. Kiselev, “A parametric continuation scheme in the nonlinear time-optimal problem,” Vestnik MGU, Ser. 15, No. 2, 51–52 (1990). S. N. Avvakumov and Yu. N. Kiselev, “Boundary value problem for ordinary differential equations with applications to optimal control,” Spectral and Evolution Problems 2000, Vol. 10, Proc. Tenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, Simferopol, Ukraine. E. L. Allgower and K. Georg, Introduction to Numerical Continuation Methods, Springer, New York (1990). I. G. Ismailova, Approximate Procedures for Solving Control and Optimization Problems [in Russian], MAKS Press, Moscow (2002). V. V. Dikusar, M. Kosh’ka, and A. Figura, “Parametric continuation method for boundary-value problems in optimal control,” Diff. Uravn., 37, No. 4, 453–457 (2001). L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and E. F. Mishchenko, Mathematical Theory of Optimal Processes [in Russian], Nauka, Moscow (1969). V. I. Boldyrev, “Piecewise-linear approximation method for optimal control problems,” Diff. Uravn. Protsessy Upravleniya, No. 1, 28–123 (2004) (http://www.neva.ru/journal) M. A. Krasnosel’skii, G. M. Vainikko, P. P. Zabreiko, Ya. B. Rutitskii, and V. Ya. Stetsenko, Approximate Solution of Operator Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1969). E. Catinas, “The inexact, inexact perturbed and quasi-Newton methods are equivalent models,” Mathematics of Computation, 74, No. 249, 291–301 (2004). C. T. Kelley and E. W. Sachs, “Approximate quasi-Newton method,” Mathematical Programming, 48, No. 1, 41–70 (1990). J. M. Martinez, “Quasi-inexact-Newton methods with global convergence for solving constrained nonlinear systems,” Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 30, 1–8. B. Morini, “Convergence behaviour of inexact Newton methods,” Mathematics of Computation, 68, No. 228, 1605–1613 (1999). N. N. Moiseev, Numerical Methods in Optimal System Theory [in Russian], Nauka, Moscow (1971). R. P. Fedorenko, Approximate Solution of Optimal Control Problems [in Russian], Nauka, Moscow (1978). Yu. N. Kiselev, Optimal Control [in Russian], MGU, Moscow (1988). S. N. Avvakumov, “Smooth approximation of convex compacta,” Trudy Inst. Matem. Mekhan. UrO RAN, Ekaterinburg, 4, 184–200 (1996). A. V. Dmitruk, A. A. Milyutin, and N. P. Osmolovskii, Maximum Principle in Optimal Control [in Russian], MGU, Moscow (2004). S. S. Zhulin, “Numerical solution of optimal control problem using the Optimus system,” Problemy Dinamicheskogo Upravleniya, MGU, Moscow, No. 1, 158–165 (2005).