Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các phương pháp lặp song song dựa trên các phương pháp Multistep Runge-Kutta loại Radau
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu các phương pháp Multistep Runge-Kutta lặp kiểu Radau như một lớp phương pháp tường minh phù hợp cho việc triển khai song song. Dựa trên ý tưởng của van der Houwen và Sommeijer [18], phương pháp được thiết kế theo cách mà các đánh giá phía bên phải có thể được tính toán song song. Chúng tôi sử dụng điều khiển bước và thứ tự biến đổi dựa trên gần đúng lặp của nghiệm. Một mã được phát triển và hiệu suất của nó được so sánh với các mã dựa trên các phương pháp Runge-Kutta lặp kiểu Gauss và các cặp Dormand và Prince khác nhau [15]. Độ chính xác của một số phương pháp của chúng tôi có thể so sánh với các phương pháp PIRK10 của van der Houwen và Sommeijer [18], nhưng yêu cầu ít bộ xử lý hơn. Ngoài ra, với các sai số rất nghiêm ngặt, các phương pháp mới này cạnh tranh được với các cặp RK78 trong triển khai tuần tự.
Từ khóa
#phương pháp Runge-Kutta #phương pháp nhiều bước #phương pháp Radau #triển khai song song #điều khiển bước #giả định nhiều lầnTài liệu tham khảo
K. Burrage and P. M. Moss, Simplifying assumptions for the order of partitioned multivalue methods, BIT 20 (1980) 452–465.
K. Burrage, Order and stability of explicit multivalue methods, Appl. Numer. Math. 1 (1985) 363–379.
K. Burrage, Order properties of multivalue methods, IMA J. Numer. Anal. 8 (1988) 43–69.
K. Burrage, The search for the holy grail, or: predictor-corrector methods for solving ODEIVPs, Appl. Numer. Math. 11 (1993) 125–141.
K. Burrage, Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations (Oxford University Press, New York, 1995).
J. C. Butcher, On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations, Math. Comp. 20 (1966) 1–10.
J. C. Butcher, The order of numerical methods for ordinary differential equations, Math. Comp. 27 (1973) 793–806.
Nguyen huu Cong and T. Mitsui, A class of explicit parallel two-step Runge-Kutta methods, in preparation.
Nguyen huu Cong, Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta methods for non stiff initial value problems, J. Comput. Appl. Math. 51 (1994) 117–125.
Nguyen huu Cong, Explicit parallel two-step Runge-Kutta-Nyström methods, Comput. Math. Appl., to appear.
G. J. Cooper, The order of convergence of general linear methods for ordinary differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 15 (1978) 643–661.
W. H. Enright and J. D. Pryce, Two Fortran packages for assessing initial value methods, ACM Trans. Math. Software 13 (1987) 1–27.
A. Guillou and J. L. Soulé, La résolution numérique des problèmes différentiels aux conditions initiales par des méthodes de collocation, R.I.R.O. R-3 (1969) 17–44.
E. Hairer and G. Wanner, On the Butcher group and general multivalue methods, Computing 13 (1974) 1–15.
E. Hairer and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer Series in Computational Mathematics (Springer, Berlin, 1987).
E. Hairer, S. P. Nørsett and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer Series in Computational Mathematics (Springer, Berlin, 1991).
P. J. van der Houwen and B. P. Sommeijer, Variable step integration of high order Runge-Kutta methods on parallel computers, Report NM-R8817, CWI, Amsterdam, The Netherlands (1988).
P. J. van der Houwen and B. P. Sommeijer, Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control, J. Comput. Appl. Math. 29 (1990) 111–127.
P. J. van der Houwen and Nguyen huu Cong, Parallel block predictor-corrector methods of Runge-Kutta type, Appl. Numer. Math. 13 (1993) 109–123.
T. E. Hull, W. E. Enright, B. M. Fellen and A. E. Sedgwick, Comparing numerical methods for ordinary differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 9 (1972) 603–637.
A. Iserles and S. P. Nørsett, On the theory of parallel Runge-Kutta methods, IMA J. Numer. Anal. 10 (1990) 463–488.
Z. Jackiewicz and S. Tracogna, A general class of two-step Runge-Kutta methods for ordinary differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 1 (1988) 1–38.
K. R. Jackson and S. P. Nørsett, The potential for parallelism in Runge-Kutta methods. Part I: RK formula in standard forms, SIAM J. Numer. Anal. 32 (1995) 49–82.
V. I. Krylov, Priblizhennoe Vyschisslenie Integralov (Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit., Moscow, 1959). English translation: Approximate Calculation of Integrals (Macmillan, New York, 1962).
I. Lie, Some aspects of parallel Runge-Kutta methods, Report No. 3/87, University of Trondheim, Division Numerical Mathematics, Norway (1987).
I. Lie and S. P. Nørsett, Superconvergence for multistep collocation, Math. Comp. 52 (1989) 65–79.
S. P. Nørsett and H. H. Simonsen, Aspects of parallel Runge-Kutta methods, in: Workshop on Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, L'Aquila, ed. A. Bellen, Lecture Notes in Mathematics 1386 (Springer, Berlin, 1989) 103–117.
S. Schneider, Numerical experiments with a multistep Radau method, BIT 33 (1993) 332–350.