Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giả thuyết Osserman trong không gian n ≠ 8, 16
Tóm tắt
Giả sử M
n
là một đa tạp Riemann và R là tensor độ cong của nó. Đối với một điểm p ∈ M
n
và một vectơ đơn vị X ∈ T
p
M
n
, toán tử Jacobi được định nghĩa bởi R
X
=R(X,·)X. Đa tạp M
n
được gọi là Osserman tại điểm nếu, đối với mọi p ∈ M
n
, phổ của toán tử Jacobi không phụ thuộc vào việc chọn X, và được gọi là Osserman toàn cầu nếu nó không phụ thuộc vào cả X lẫn p. Osserman đã phỏng đoán rằng các đa tạp Osserman toàn cầu là đồng phẳng hai điểm. Chúng tôi chứng minh Giả thuyết Osserman cho n≠8, 16, và phiên bản tại điểm của nó cho n≠2, 4, 8, 16. Kết quả một phần trong trường hợp n=16 cũng được đưa ra.
Từ khóa
#Đa tạp Riemann #tensor độ cong #toán tử Jacobi #giả thuyết OssermanTài liệu tham khảo
Adams, J.F.: Vector fields on spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 68, 39–41 (1962)
Alekseevsky, D.V.: Riemannian spaces with unusual holonomy groups, Functional Anal. Appl., 2, 1–10 (1962)
Atiah, M.F., Bott, R., Shapiro, A.: Clifford modules, Topology, 3, suppl.1, 3–38 (1964)
Brown, R., Gray, A.: Riemannian manifolds with holonomy group Spin(9), Diff. Geom. in honor of K.Yano, Kinokuniya, Tokyo 41–59 (1972)
Chi, Q.-S.: A curvature characterization of certain locally rank-one symmetric spaces. J. Differ. Geom. 28, 187–202 (1988)
García-Río, E., Kupeli, D.N., Vázguez-Lorenzo, R.: Osserman manifolds in Semi-Riemannian Geometry, Lecture Notes in Mathematics, 1777 (Springer-Verlag, 2002)
Gilkey, P.: Manifolds whose curvature operator has constant eigenvalues at the basepoint, J. Geom. Anal. 4, 155–158 (1994)
Gilkey, P.: Algebraic curvature tensors which are p-Osserman. Diff. Geom. Appl. 14, 297–311 (2001)
Gilkey, P., Swann, A., Vanhecke, L.: Isoperimetric geodesic spheres and a conjecture of Osserman concerning the Jacobi operator. Quart. J. Math. Oxford (2), 46, 299–320 (1995)
Glover, H., Homer, W., Stong, R.: Splitting the tangent bundle of projective space. Indiana Univ. Math. J. 31, 161–166 (1982)
Husemoller, D.: Fiber bundles (Springer-Verlag, 1975)
Nikolayevsky, Y.: Osserman manifolds and Clifford structures. Houston J. Math. 29, 59–75 (2003)
Nikolayevsky, Y.: Two theorems on Osserman manifolds. Diff. Geom. Appl. 18, 239–253 (2003)
Nikolayevsky, Y.: Osserman manifolds of dimension 8. manuscripta math. 115, 31–53 (2004)
Osserman, R.: Curvature in the eighties. Amer. Math. Monthly. 97, 731–756 (1990)
Rakic, Z.: On duality principle in Osserman manifolds. Linear Alg. Appl. 296, 183–189 (1999)