Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Định Lề Osgood và Một Số Kết Quả cho Phương Trình Euler 2D Hơi Siêu Phê với Dòng Chảy Không Nén
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu các phương trình Euler hai chiều (hơi) siêu phê. Bài báo gồm hai phần. Ở phần đầu tiên, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất trong các không gian C_s cho mọi s > 0. Chúng tôi cũng đưa ra các ước lượng tăng trưởng cho các chuẩn C_s của độ quay cho $${0 < s \leqq 1}$$. Ở phần thứ hai, chúng tôi chứng minh tính đều đặn toàn cầu cho bài toán vết xoáy trong chế độ siêu phê. Bài báo này mở rộng kết quả của Chae và cộng sự, nơi họ chứng minh sự tồn tại và duy nhất cho phương trình LogLog-Euler. Chúng tôi cũng mở rộng các kết quả cổ điển của Chemin và Bertozzi-Constantin về bài toán vết xoáy cho trường hợp hơi siêu phê. Cả hai vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu được đặt trong bối cảnh của không gian toàn bộ.
Từ khóa
#Phương trình Euler #dòng chảy không nén #tồn tại và duy nhất #độ quay #vết xoáyTài liệu tham khảo
Bahouri H., Chemin J.-Y.: Équations de transport relatives á des champs de veceurs non-lipschitziens et mécanique des fluides. Arch. Ration. Mech. Anal. 127(2), 159–181 (1994)
Bahouri, H., Chemin, J.-Y., Danchin, R.: Fourier analysis and nonlinear partial differential equations. Springer, Berlin, p 434, 2011
Beale J.T., Kato T., Majda A.: Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3D Euler equations. Commun. Math. Phys. 94(1), 61–66 (1984)
Bertozzi A., Constantin P.: Global regularity for vortex patches. Commun. Math. Phys. 152(1), 19–28 (1993)
Caffarelli L., Vasseur A.: Drift diffusion with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation. Ann. Math. 171(3), 1903–1930 (2010)
Chae D., Constantin P., Wu J.: Inviscid models generalizing the 2D Euler and the surface quasi-geostrophic equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 202(1), 35–62 (2011)
Chemin J.-Y.: Persistance de structures geometriques dans les fluides incompressibles bidimensionnels. Annales de l’École Normale Supérieure 26(4), 1–26 (1993)
Constantin P., Lax P., Majda A.: A simple one-dimensional model for the three dimensional vorticity. Commun. Pure Appl. Math. 38, 715–724 (1985)
Constantin P., Vicol V.: Nonlinear maximum principles for dissipative linear nonlocal operators and applications (arXiv:1110,0179v1 [math.AP])
Córodba A., Córodba D., Fontelo M.A.: Formation of singularities for a transport equation iwth nonlocal velocity. Ann. Math. 162(2), 1377–1389 (2005)
Dabkowski M., Kiselev A., Silvestre L., Vicol V.: On the global well-posedness of slightly supercritical dissipative active scalar equations and inviscid models with singular drift velocity (in preparation)
Dabkowski M., Kiselev A., Vicol V.: Global well-posedness for a slightly supercritical surface quasi-geostrophic equation (arXiv:1106.2137v2 [math.AP])
Dong H., Du D., Li D.: Finite time singularities and global well-posedness for fractal Burgers equations. Indiana Univ. Math. J. 58(2), 807–821 (2009)
Kelliher J.P.: On the flow map for the 2D Euler equations with unbounded vorticity. Nonlinearity 24(9), 2599–2637 (2011)
Kiselev A., Nazarov F.: A variation on a theme of Caffarelli and Vasseur. Zap. Nauchn. Sem. POMI 370, 58–72 (2010)
Kiselev A., Nazarov F., Shterenberg R.: Blow up and regularity for fractal Burgers equation. Dyn. Partial Differ. Equ. 5(3), 211–240 (2008)
Kiselev A., Nazarov F., Volberg A.: Global well-posedness for the critical 2D dissipative quasi-geostrophic equation. Invent. Math. 167(3), 445–453 (2007)
Li D., Rodrigo J.: Blow-up of solutions for a 1D transport equation with nonlocal velocity and supercritical dissipation. Adv. Math. 217, 2563–2568 (2008)
Maekawa Y., Miura H.: On fundamental solutions for fractional diffusion equations with divergence free drift (preprint)
Taos T.: Global regularity for a logarithmically supercritical hyperdissipative Navier-Stokes equation. Anal. PDE 2, 361–366 (2009)
Vishik M.: Incompressible flows on an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type. Ann. Sci. École Norm. Sup. 32(6), 769–812 (1999)
Yudovich V.I.: Non-stationary flows of an ideal incompressible fluid. Ž. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz. 3, 1032–1066 (1963)
Yudovich V.I.: Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible fluid. Math. Res. Lett. 2(1), 27–38 (1995)