Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Điều kiện tối ưu cho các chương trình toán học với ràng buộc kiểu trực giao
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét lớp các chương trình toán học với ràng buộc kiểu trực giao. Các ràng buộc kiểu trực giao xuất hiện nhờ việc cải biên ràng buộc thưa thông qua các biến nhị phân bổ sung và sau đó là việc nới lỏng chúng. Đối với các chương trình toán học với ràng buộc kiểu trực giao, một điều kiện tối ưu cần thiết được phát biểu dưới dạng T-tĩnh. Sự biện minh cho tính T-tĩnh có ba phần. Đầu tiên, nó cho phép nắm bắt cấu trúc toàn cục của các chương trình toán học với ràng buộc kiểu trực giao dưới góc độ lý thuyết Morse, tức là các kết quả liên quan đến biến dạng và gắn kết ô được thiết lập. Để làm điều đó, chúng tôi giới thiệu tính không suy thoái cho các điểm T-tĩnh và cho thấy rằng nó tồn tại một cách tổng quát. Thứ hai, chúng tôi chứng minh rằng các điểm Karush-Kuhn-Tucker của sự điều chỉnh kiểu Scholtes hội tụ về các điểm T-tĩnh của các chương trình toán học với ràng buộc kiểu trực giao. Điều này được thực hiện dưới điều kiện định hạn độc lập tuyến tính được tùy chỉnh, mà cũng hóa ra là một thuộc tính tổng quát. Thứ ba, chúng tôi cho thấy rằng tính T-tĩnh áp dụng cho việc nới lỏng các tối ưu hóa phi tuyến có ràng buộc thưa tự nhiên dẫn đến các điểm M-tĩnh của nó. Hơn nữa, chúng tôi đồng thời lập luận rằng tất cả các điểm T-tĩnh của sự nới lỏng này trở thành các điểm suy thoái.
Từ khóa
#Chương trình toán học #ràng buộc kiểu trực giao #điều kiện tối ưu #điểm T-tĩnh #lý thuyết MorseTài liệu tham khảo
Arnold, V.I., Goryunov, V.V., Lyashko, O.V., Vasil’ev, V.A.: Critical points of functions. In: Singularity Theory I. Encylopedia of Mathematical Sciences, vol. 6. Springer, Berlin (1998)
Basener, W.F.: Topology and Its Applications. Wiley, Hoboken (2006)
Branda, M., Bucher, M., Červinka, M., Schwartz, A.: Convergence of a scholtes-type regularization method for cardinality-constrained optimization problems with an application in sparse robust portfolio optimization. Comput. Optim. Appl. 70, 503–530 (2018)
Bucher, M., Schwartz, A.: Second-order optimality conditions and improved convergence results for regularization methods for cardinality-constrained optimization problems. J. Optim. Theory Appl. 178, 383–410 (2018)
Burdakov, O., Kanzow, C., Schwartz, A.: Mathematical programs with cardinality constraints: reformulation by complementarity-type conditions and a regularization method. SIAM J. Optim. 26, 397–425 (2016)
Dorsch, D., Shikhman, V., Stein, O.: Mathematical programs with vanishing constraints: Critical point theory. J. Glob. Optim. 52, 591–605 (2012)
Floudas, C.A., Jongen, H.T.: Global optimization: Local minima and transition points. J. Global Optim. 32, 409–415 (2005)
Goresky, M., MacPherson, R.: Stratified Morse Theory. Springer, New York (1988)
Hirsch, M.W.: Differential Topology. Springer, Berlin (1976)
Jongen, H., Meer, K., Triesch, E.: Optimization Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2004)
Jongen, H.T., Jonker, P., Twilt, F.: Nonlinear Optimization in Finite Dimensions. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2000)
Jongen, H.T., Shikhman, V., Ruckmann, J.-J.: MPCC: Critical Point theory. SIAM J. Optim. 20(1), 473–484 (2009a)
Jongen, H.T., Shikhman, V., Ruckmann, J.-J.: MPCC: Critical Point theory. SIAM J. Optim. 20, 473–484 (2009b)
Kanzow, C., Mehlitz, P., Steck, D.: Relaxation schemes for mathematical programmes with switching constraints. Optimization Methods and Software. https://doi.org/10.1080/10556788.2019.1663425 (2019)
Lämmel, S., Shikhman, V.: On nondegenerate M-stationary points for sparsity constrained nonlinear optimization. Journal of Global Optimization, online first. https://doi.org/10.1007/s10898-021-01070-7 (2021)
Mehlitz, P.: Stationarity conditions and constraint qualifications for mathematical programs with switching constraints. Math. Program. 181, 1–38 (2019)
Shikhman, V.: Topological Aspects of Nonsmooth Optimization. Springer, New York (2012)
Shikhman, V.: Topological approach to mathematical programs with switching constraints. Set-Valued and Variational Analysis. online first. https://doi.org/10.1007/s10898-021-01070-7 (2021)
Stein, O.: Lifting mathematical programs with complementarity constraints. Math. Program. 131, 71–94 (2012)